Calcule o trabalho realizado pela força F na partícula que se move ao longo de C
F(x, y)=2 x y i+(x^2+y^2) j, ao longo do segmento de reta que vai da origem até o ponto (1,1)

Passo 1

O enunciado pede o trabalho realizado pela força F(x,y)=2xy,i + (x^2+y^2),j ao longo do segmento de reta que vai de (0,0) até (1,1). Sabemos que o trabalho é dado pela integral de linha
W = integralC Fcdot dr
Como o domínio de F é todo R^2 (que é convexo e simplesmente conexo), podemos verificar se F é conservativo e, se for, usar o teorema fundamental das integrais de linha para obter W apenas pelos valores de uma potencial nos pontos finais.

Passo 2

Separamos F em componentes
P(x,y)=2xy, Q(x,y)=x^2+y^2
Calculamos as derivadas parciais
partial Ppartial y=2x, partial Qpartial x=2x
Como partial P/partial y = partial Q/partial x em R^2, concluímos que F é um campo conservativo.

Passo 3

Buscamos uma função potencial f(x,y) tal que nabla f = F.
Integramos P em relação a x:
f(x,y)=integral 2xy,dx = x^2y + h(y),
onde h(y) é função a determinar. Derivando em y e igualando a Q:
partial fpartial y = x^2 + h'(y) = x^2 + y^2 Longrightarrow h'(y)=y^2 Longrightarrow h(y)=y^33
Logo
f(x,y)=x^2y + y^33

Passo 4

Pelo teorema fundamental das integrais de linha, o trabalho ao ir de (0,0) a (1,1) é
W = f(1,1) - f(0,0) = l(1^2cdot1 + tfrac1^33r) - 0 = 1 + 13 = 43

Resposta

43

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