13.8 Primeiro, calcule a transformada de Laplace de H(t-a), onde a>0, e H(t) é a função de Heaviside - Calcule a integral!. Agora, obtenha
\mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{\mathrm{e}^{-s}}{s}-\frac{\mathrm{e}^{-2 s}}{s}\right\}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: primeiro calcular a transformada de Laplace de \,H(t-a), em que a>0 e H(t) é a função de Heaviside; depois, usar esse resultado (ou diretamente a propriedade de deslocamento no tempo) para obter
\mathscr{L}^{-1}\Bigl\{\frac{e^{-s}}{s}-\frac{e^{-2s}}{s}\Bigr\}.
O conteúdo principal aqui é a definição de transformada de Laplace de uma função por integral e a propriedade de deslocamento:
\mathscr{L}\{f(t-a)H(t-a)\}(s)=e^{-as}F(s),
onde F(s)=\mathscr{L}\{f(t)\}(s).

Passo 2

Vamos calcular por definição
\mathscr{L}\{H(t-a)\}(s) =\int_{0}^{\infty}H(t-a)\,e^{-st}\,dt.
Como H(t-a)=0 para t<a e vale 1 para t\ge a, a integral vira
\int_{a}^{\infty}e^{-st}\,dt =\Bigl[-\frac{1}{s}e^{-st}\Bigr]_{t=a}^{t=\infty} =\frac{e^{-as}}{s}.

Passo 3

Agora, observe que
\frac{e^{-s}}{s}-\frac{e^{-2s}}{s} =e^{-1\cdot s}\,\frac{1}{s}\;-\;e^{-2\cdot s}\,\frac{1}{s}.
Aqui F(s)=1/s é a transformada de Laplace da função constante f(t)=1.

Passo 4

Pela propriedade de deslocamento no tempo, temos
\mathscr{L}^{-1}\{e^{-as}F(s)\}(t) =H(t-a)\,f(t-a).
Como f(t)=1, segue
\mathscr{L}^{-1}\Bigl\{\frac{e^{-s}}{s}\Bigr\}(t) =H(t-1)\cdot1 =H(t-1),
\mathscr{L}^{-1}\Bigl\{\frac{e^{-2s}}{s}\Bigr\}(t) =H(t-2)\cdot1 =H(t-2).

Passo 5

Pela linearidade, a transformada inversa pedida é
\mathscr{L}^{-1}\Bigl\{\frac{e^{-s}}{s}-\frac{e^{-2s}}{s}\Bigr\}(t) =H(t-1)-H(t-2).

Resposta

H(t-1)-H(t-2).

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