13.10 Em quais condições as velocidades médias e as velocidades instantâneas são essencialmente iguais?
Passo 1
O enunciado pergunta: em que situações a velocidade média e a velocidade instantânea de uma partícula são praticamente iguais? O conteúdo é cinemática unidimensional e vai exigir que a gente use a definição de velocidade média e a noção de derivada para velocidade instantânea.
Passo 2
Definimos a velocidade média em um intervalo de tempo
como
onde
é o deslocamento nesse intervalo. A velocidade instantânea
em um instante
é dada pelo limite
Note que, por definição, a velocidade instantânea é exatamente o que ocorre com a velocidade média quando fazemos
. Portanto, sempre que o intervalo de tempo considerado for muito pequeno em comparação à escala em que a velocidade varia, teremos
.
Passo 3
Um caso especial em que a velocidade média e a instantânea coincidem para qualquer
é o movimento uniforme, isto é, quando a aceleração
é zero. Nesse caso a velocidade é constante e, logo,
Em movimentos com aceleração não nula, mas lenta ou praticamente constante em curto intervalo, a diferença entre
e
também é desprezível se
for pequeno o bastante para que a velocidade não mude muito.
Resposta
Velocidades médias e instantâneas são essencialmente iguais quando:
- o intervalo de tempo
considerado é muito pequeno (situação em que pela definição de derivada); - ou o movimento é uniforme (aceleração
), de modo que a velocidade é constante e para qualquer intervalo.