13.10 Em quais condições as velocidades médias e as velocidades instantâneas são essencialmente iguais?

Passo 1

O enunciado pergunta: em que situações a velocidade média e a velocidade instantânea de uma partícula são praticamente iguais? O conteúdo é cinemática unidimensional e vai exigir que a gente use a definição de velocidade média e a noção de derivada para velocidade instantânea.

Passo 2

Definimos a velocidade média em um intervalo de tempo \Delta t como
\bar v = \frac{\Delta x}{\Delta t},
onde \Delta x é o deslocamento nesse intervalo. A velocidade instantânea v(t) em um instante t é dada pelo limite
v(t) = \frac{dx}{dt} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}.
Note que, por definição, a velocidade instantânea é exatamente o que ocorre com a velocidade média quando fazemos \Delta t\to0. Portanto, sempre que o intervalo de tempo considerado for muito pequeno em comparação à escala em que a velocidade varia, teremos
\bar v \approx v(t).

Passo 3

Um caso especial em que a velocidade média e a instantânea coincidem para qualquer \Delta t é o movimento uniforme, isto é, quando a aceleração a é zero. Nesse caso a velocidade é constante e, logo,
\bar v = v(t) = \text{constante}.
Em movimentos com aceleração não nula, mas lenta ou praticamente constante em curto intervalo, a diferença entre \bar v e v(t) também é desprezível se \Delta t for pequeno o bastante para que a velocidade não mude muito.

Resposta

Velocidades médias e instantâneas são essencialmente iguais quando:
  • o intervalo de tempo \Delta t considerado é muito pequeno (situação em que \bar v\to v(t) pela definição de derivada);
  • ou o movimento é uniforme (aceleração a=0), de modo que a velocidade é constante e \bar v = v(t) para qualquer intervalo.

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