(2,0 ptos) Dada
a. Prove que
é a parte real de uma função analitica
b. Encontre a função
a. Prove que
b. Encontre a função
Passo 1
O enunciado dá
e pede:
a) mostrar que existe tal que
é analítica;
b) determinar explicitamente .
Para isso, vamos aplicar as equações de Cauchy–Riemann e descobrir , depois ver que
pode ser escrito de forma fechada.
a) mostrar que existe
b) determinar explicitamente
Para isso, vamos aplicar as equações de Cauchy–Riemann e descobrir
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais de
:
Passo 3
As equações de Cauchy–Riemann exigem
Assim,
Integramos em relação a
:
onde
é função a determinar.
Passo 4
Agora calculemos
a partir de
:
Pelas CR, deve valer
, ou seja
Logo
, o que integra para
Desprezando a constante (ela só adiciona um termo real em
), temos
Passo 5
Portanto
Observando que
,
e , segue que
e