(2,0 ptos) Dada u(x, y)=\exp (x) \cdot \cos (y)-x^{3}+3 x \cdot y^{2}+x+3
a. Prove que u(x, y) é a parte real de uma função analitica f(z)=u(x, y)+z \cdot v(x, y)
b. Encontre a função f(z)

Passo 1

O enunciado dá
u(x,y)=\exp(x)\cos(y)-x^{3}+3x\,y^{2}+x+3
e pede:
a) mostrar que existe v(x,y) tal que f(z)=u(x,y)+i\,v(x,y) é analítica;
b) determinar explicitamente f(z).
Para isso, vamos aplicar as equações de Cauchy–Riemann e descobrir v, depois ver que f pode ser escrito de forma fechada.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de u:
u_x = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^x\cos y - x^3 +3xy^2 + x +3\bigr) = e^x\cos y -3x^2 +3y^2 +1,
u_y = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^x\cos y - x^3 +3xy^2 + x +3\bigr) = -e^x\sin y +6xy.

Passo 3

As equações de Cauchy–Riemann exigem
v_x = -\,u_y \quad\text{e}\quad v_y = u_x.
Assim,
v_x = -\bigl(-e^x\sin y +6xy\bigr) = e^x\sin y -6xy.
Integramos em relação a x:
v(x,y)=\int\!(e^x\sin y -6xy)\,dx = e^x\sin y -3x^2y + C(y),
onde C(y) é função a determinar.

Passo 4

Agora calculemos v_y a partir de v(x,y):
v_y = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^x\sin y -3x^2y + C(y)\bigr) = e^x\cos y -3x^2 + C'(y).
Pelas CR, deve valer v_y=u_x, ou seja
e^x\cos y -3x^2 + C'(y) = e^x\cos y -3x^2 +3y^2+1.
Logo C'(y)=3y^2+1, o que integra para
C(y)=y^3+y + \text{constante}.
Desprezando a constante (ela só adiciona um termo real em f), temos
v(x,y)=e^x\sin y -3x^2y +y^3+y.

Passo 5

Portanto
f(z)=u(x,y)+i\,v(x,y) =\bigl(e^x\cos y -x^3+3xy^2+x+3\bigr) +i\bigl(e^x\sin y -3x^2y +y^3+y\bigr).
Observando que
\exp(z)=e^x\cos y +i\,e^x\sin y,
\,z^3=(x^3-3xy^2)+i(3x^2y-y^3)
e z=x+iy, segue que
f(z)=e^z - z^3 + z + 3.

Resposta

\boxed{\,f(z)=e^{z} - z^{3} + z + 3\,}.

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