13.11 Um elétron está, em média, mais afastado do núcleo quando ele está num orbital
ou num orbital
?
Passo 1
O enunciado pergunta qual orbital, entre
e
, tem o elétron em média mais afastado do núcleo. As informações relevantes que temos são: o orbital
tem números quânticos
e
; o orbital
tem
e
. Não há indicação contrária no enunciado, então assumimos o átomo de hidrogênio (ou átomo hidrogenoide com número atômico
). O que precisamos comparar é o valor médio da distância ao núcleo, isto é,
para cada orbital.
Passo 2
Definição matemática do que é “distância média”: a distância média ao núcleo para um elétron num estado descrito pela função de onda
é
Aqui
é a função de onda (dependendo de
),
é a coordenada radial (distância do núcleo) e
é o elemento de volume. Para orbitais do átomo de hidrogênio podemos separar a função de onda em parte radial
e parte angular
:
Como as harmônicas esféricas
estão normalizadas na esfera, a integral angular dá
e a expressão para
reduz-se à integral radial
Isso significa que, para comparar
entre orbitais, podemos usar fórmulas conhecidas para
de orbitais hidrogenoides.
Passo 3
Fórmula prática (resultado padrão para átomos hidrogenoides): para um orbital com números quânticos
(principal) e
(azimutal) no átomo hidrogenoide de carga nuclear
,
onde
é o raio de Bohr (
). Explicando as variáveis:
é a unidade de comprimento natural do problema,
é o número atômico (para hidrogênio
),
determina a “camada” principal e
a forma angular do orbital. Essa fórmula vem do cálculo explícito das integrais radiais usando as funções radiais
do átomo de hidrogênio; não precisamos refazer a derivação inteira aqui, mas é útil saber que ela é exata para átomos hidrogenoides.
Passo 4
Aplicando a fórmula para
e
:
Para o orbital
temos
. Então
Para o orbital
temos
. Então
Passo 5
Interpretação física e intuição (para você levar pra prova): embora o orbital
tenha um nó radial e parte da densidade esteja mais próxima do núcleo (penetrando camadas internas), a cauda radial do
se estende um pouco mais longe do que a do
, de modo que a média
fica maior para
. Portanto, em média o elétron está mais afastado no
do que no
. Isso vale para átomos hidrogenoides; em átomos multieletrônicos efeitos de blindagem/penetração mudam energias e distribuições, mas a comparação de
para estados com os mesmos
segue essa tendência hidrogenoide.
Resposta
O elétron está, em média, mais afastado no orbital
:
e
.