13.11 Um elétron está, em média, mais afastado do núcleo quando ele está num orbital 2 s ou num orbital 2 p ?

Passo 1

O enunciado pergunta qual orbital, entre 2s e 2p, tem o elétron em média mais afastado do núcleo. As informações relevantes que temos são: o orbital 2s tem números quânticos n=2 e \ell=0; o orbital 2p tem n=2 e \ell=1. Não há indicação contrária no enunciado, então assumimos o átomo de hidrogênio (ou átomo hidrogenoide com número atômico Z=1). O que precisamos comparar é o valor médio da distância ao núcleo, isto é, \langle r\rangle para cada orbital.

Passo 2

Definição matemática do que é “distância média”: a distância média ao núcleo para um elétron num estado descrito pela função de onda \psi é
\langle r\rangle = \int \psi^*(\mathbf{r})\, r\, \psi(\mathbf{r})\, d\tau.
Aqui \psi(\mathbf{r}) é a função de onda (dependendo de r,\theta,\varphi), r é a coordenada radial (distância do núcleo) e d\tau é o elemento de volume. Para orbitais do átomo de hidrogênio podemos separar a função de onda em parte radial R_{n\ell}(r) e parte angular Y_{\ell m}(\theta,\varphi):
\psi_{n\ell m}(r,\theta,\varphi)=R_{n\ell}(r)\,Y_{\ell m}(\theta,\varphi).
Como as harmônicas esféricas Y_{\ell m} estão normalizadas na esfera, a integral angular dá 1 e a expressão para \langle r\rangle reduz-se à integral radial
\langle r\rangle = \int_{0}^{\infty} r^3\, |R_{n\ell}(r)|^2\, dr.
Isso significa que, para comparar \langle r\rangle entre orbitais, podemos usar fórmulas conhecidas para \langle r\rangle de orbitais hidrogenoides.

Passo 3

Fórmula prática (resultado padrão para átomos hidrogenoides): para um orbital com números quânticos n (principal) e \ell (azimutal) no átomo hidrogenoide de carga nuclear Z,
\langle r\rangle = \frac{a_0}{2Z}\bigl(3n^2 - \ell(\ell+1)\bigr),
onde a_0 é o raio de Bohr ( a_0\approx 0,529\\ \text{\AA}). Explicando as variáveis: a_0 é a unidade de comprimento natural do problema, Z é o número atômico (para hidrogênio Z=1), n determina a “camada” principal e \ell a forma angular do orbital. Essa fórmula vem do cálculo explícito das integrais radiais usando as funções radiais R_{n\ell}(r) do átomo de hidrogênio; não precisamos refazer a derivação inteira aqui, mas é útil saber que ela é exata para átomos hidrogenoides.

Passo 4

Aplicando a fórmula para n=2 e Z=1:
Para o orbital 2s temos \ell=0. Então
\langle r\rangle_{2s} = \frac{a_0}{2}\bigl(3\cdot 2^2 - 0\cdot(0+1)\bigr) = \frac{a_0}{2}\cdot 12 = 6\,a_0.
Para o orbital 2p temos \ell=1. Então
\langle r\rangle_{2p} = \frac{a_0}{2}\bigl(3\cdot 2^2 - 1\cdot(1+1)\bigr) = \frac{a_0}{2}\bigl(12-2\bigr) = \frac{a_0}{2}\cdot 10 = 5\,a_0.

Passo 5

Interpretação física e intuição (para você levar pra prova): embora o orbital 2s tenha um nó radial e parte da densidade esteja mais próxima do núcleo (penetrando camadas internas), a cauda radial do 2s se estende um pouco mais longe do que a do 2p, de modo que a média \langle r\rangle fica maior para 2s. Portanto, em média o elétron está mais afastado no 2s do que no 2p. Isso vale para átomos hidrogenoides; em átomos multieletrônicos efeitos de blindagem/penetração mudam energias e distribuições, mas a comparação de \langle r\rangle para estados com os mesmos n segue essa tendência hidrogenoide.

Resposta

O elétron está, em média, mais afastado no orbital 2s: \langle r\rangle_{2s}=6\,a_0 e \langle r\rangle_{2p}=5\,a_0.

Exercícios relacionados