13.6
Mostre derivando que a função de onda radial 2 s tem dois extremos na sua amplitude. Localize cada um deles.

Passo 1

O enunciado pede que mostremos, por diferenciação, que a função de onda radial do estado 2s do átomo de hidrogénio tem dois extremos na sua amplitude radial e que localizemos cada um desses extremos. Informações relevantes que vamos usar (tudo expresso em função do raio de Bohr a_0):\n
  • A forma (até uma constante positivo de normalização) da função radial R_{2,0}(r) é proporcional a
(2 - r/a_0)\,e^{-r/(2a_0)}.
Eu extraí essa expressão padrão das fórmulas conhecidas das funções de onda do hidrogénio (a constante de normalização não importa para localizar extremos, porque é multiplicativa e positiva).\n
  • A “amplitude radial” que normalmente se analisa para ver extremos de probabilidade radial é a função
u(r)=r\,R_{2,0}(r),
porque a densidade radial de probabilidade é dada por |R_{2,0}(r)|^2 r^2 = |u(r)|^2. Assim extremos de u(r) correspondem a extremos da amplitude radial que interessa fisicamente.\n
Na resolução vamos usar a variável adimensional
x=\frac{r}{a_0},
que simplifica as contas (logo r=a_0 x). A partir daqui começo a derivar.

Passo 2

Escrevemos a amplitude radial u(r) em termos de x. Como R_{2,0}(r)\propto (2 - r/a_0)e^{-r/(2a_0)}, com C>0 uma constante de normalização, temos
u(r)=rR_{2,0}(r)=C\,r\,(2-\tfrac{r}{a_0})\,e^{-r/(2a_0)}.
Dividindo por a_0 para ficar em x e absorvendo constantes, definimos a função proporcional (podemos omitir C porque não altera os pontos críticos)
u(x)=x(2-x)e^{-x/2},
onde x=r/a_0. Nosso objetivo é resolver du/dx=0 e depois voltar a r.

Passo 3

Calculemos du/dx passo a passo. Temos um produto de três fatores, mas é mais simples reescrever como
u(x)=(2x-x^2)e^{-x/2}.
Usamos a regra do produto: se u(x)=g(x)h(x) então u'(x)=g'(x)h(x)+g(x)h'(x). Aqui g(x)=2x-x^2 e h(x)=e^{-x/2}.\n
  • Derivada de g: g'(x)=2-2x.\n
  • Derivada de h: h'(x)=(-\tfrac{1}{2})e^{-x/2} (pela regra da cadeia: derivada de -x/2 é -1/2).\n
    Aplicando:
\begin{aligned} \frac{du}{dx} &= (2-2x)e^{-x/2} + (2x-x^2)\left(-\tfrac{1}{2}e^{-x/2}\right)\\[4pt] &= e^{-x/2}\Big(2-2x -\tfrac{1}{2}(2x-x^2)\Big). \end{aligned}
Simplificamos o parêntesis:
2-2x -\tfrac{1}{2}(2x-x^2)=2-2x -x +\tfrac{x^2}{2}=2-3x+\tfrac{x^2}{2}.
Portanto
\frac{du}{dx}=e^{-x/2}\Big(2-3x+\tfrac{x^2}{2}\Big).]

Passo 4

Encontramos os pontos críticos resolvendo \tfrac{du}{dx}=0. Como e^{-x/2}>0 para todo x, basta zerar o polinómio:
2-3x+\tfrac{x^2}{2}=0.
Multiplicando por 2 para eliminar frações:
x^2-6x+4=0.
Esta é uma quadrática; usamos a fórmula de Bhaskara:
x=\frac{6\pm\sqrt{(-6)^2-4\cdot1\cdot4}}{2}=\frac{6\pm\sqrt{36-16}}{2}=\frac{6\pm\sqrt{20}}{2}=\frac{6\pm 2\sqrt{5}}{2}=3\pm\sqrt{5}.
Assim os dois valores adimensionais são
x_1=3-\sqrt{5}\quad\text{e}\quad x_2=3+\sqrt{5}.

Passo 5

Voltando à variável r (lembrando r=a_0 x), os dois extremos ocorrem em
r_1 = a_0(3-\sqrt{5})\quad\text{e}\quad r_2 = a_0(3+\sqrt{5}).
Para termos uma ideia numérica: 3-\sqrt{5}\approx 0{,}764, então r_1\approx 0{,}764\,a_0; e 3+\sqrt{5}\approx 5{,}236, então r_2\approx 5{,}236\,a_0.

Passo 6

Classificação dos extremos (máx./mín.): podemos usar a segunda derivada ou o teste de sinal. Vou calcular a segunda derivada de forma compacta a partir de \dfrac{du}{dx}=e^{-x/2}Q(x) com Q(x)=2-3x+\tfrac{x^2}{2}. Então
\frac{d^2u}{dx^2}=e^{-x/2}\Big(Q'(x)-\tfrac{1}{2}Q(x)\Big).
Calculamos Q'(x)=-3+x. Logo
Q'(x)-\tfrac{1}{2}Q(x)=-3+x -\tfrac{1}{2}\Big(2-3x+\tfrac{x^2}{2}\Big)=-4+\tfrac{5}{2}x-\tfrac{x^2}{4}.
Como e^{-x/2}>0, o sinal de d^2u/dx^2 é o sinal de -4+\tfrac{5}{2}x-\tfrac{x^2}{4}.\n
Avaliamo-lo nos pontos críticos (uso aproximações decimais para ver o sinal):\n
  • Para x_1\approx0{,}764: -4+\tfrac{5}{2}x_1-\tfrac{x_1^2}{4}\approx -4+1{,}91-0{,}146\approx -2{,}236<0. Logo d^2u/dx^2<0 em x_1: ponto de máximo.\n
  • Para x_2\approx5{,}236: -4+\tfrac{5}{2}x_2-\tfrac{x_2^2}{4}\approx -4+13{,}09-6{,}851\approx 2{,}239>0. Logo d^2u/dx^2>0 em x_2: ponto de mínimo.\n
    Isto confirma que o extremo interior r_1 é um máximo da amplitude radial e o extremo exterior r_2 é um mínimo da amplitude radial.

Resposta

r = a_0\bigl(3-\sqrt{5}\bigr) (máximo da amplitude radial)\n
r = a_0\bigl(3+\sqrt{5}\bigr) (mínimo da amplitude radial)

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