13.6
Mostre derivando que a função de onda radial
tem dois extremos na sua amplitude. Localize cada um deles.
Mostre derivando que a função de onda radial
Passo 1
O enunciado pede que mostremos, por diferenciação, que a função de onda radial do estado
do átomo de hidrogénio tem dois extremos na sua amplitude radial e que localizemos cada um desses extremos. Informações relevantes que vamos usar (tudo expresso em função do raio de Bohr
):\n
- A forma (até uma constante positivo de normalização) da função radial
é proporcional a
Eu extraí essa expressão padrão das fórmulas conhecidas das funções de onda do hidrogénio (a constante de normalização não importa para localizar extremos, porque é multiplicativa e positiva).\n
- A “amplitude radial” que normalmente se analisa para ver extremos de probabilidade radial é a função
porque a densidade radial de probabilidade é dada por
. Assim extremos de
correspondem a extremos da amplitude radial que interessa fisicamente.\n
Na resolução vamos usar a variável adimensional
Na resolução vamos usar a variável adimensional
que simplifica as contas (logo
). A partir daqui começo a derivar.
Passo 2
Escrevemos a amplitude radial
em termos de
. Como
, com
uma constante de normalização, temos
Dividindo por
para ficar em
e absorvendo constantes, definimos a função proporcional (podemos omitir
porque não altera os pontos críticos)
onde
. Nosso objetivo é resolver
e depois voltar a
.
Passo 3
Calculemos
passo a passo. Temos um produto de três fatores, mas é mais simples reescrever como
Usamos a regra do produto: se
então
. Aqui
e
.\n
- Derivada de
: .\n - Derivada de
: (pela regra da cadeia: derivada de é ).\n
Aplicando:
Simplificamos o parêntesis:
Portanto
Passo 4
Encontramos os pontos críticos resolvendo
. Como
para todo
, basta zerar o polinómio:
Multiplicando por
para eliminar frações:
Esta é uma quadrática; usamos a fórmula de Bhaskara:
Assim os dois valores adimensionais são
Passo 5
Voltando à variável
(lembrando
), os dois extremos ocorrem em
Para termos uma ideia numérica:
, então
; e
, então
.
Passo 6
Classificação dos extremos (máx./mín.): podemos usar a segunda derivada ou o teste de sinal. Vou calcular a segunda derivada de forma compacta a partir de
com
. Então
Calculamos
. Logo
Como
, o sinal de
é o sinal de
.\n
Avaliamo-lo nos pontos críticos (uso aproximações decimais para ver o sinal):\n
Avaliamo-lo nos pontos críticos (uso aproximações decimais para ver o sinal):\n
- Para
: . Logo em : ponto de máximo.\n - Para
: . Logo em : ponto de mínimo.\n
Isto confirma que o extremo interioré um máximo da amplitude radial e o extremo exterior é um mínimo da amplitude radial.