13-14 Encontre a area da superficie com precisio de quatro casas decimais, expressando-a em termos de uma integral unidimensional e usando sua calculadora para estimar a integral.
A parte da superficie
que está acima do círculo
A parte da superficie
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício que pede para encontrar a área de uma parte da superfície definida por
que está acima do círculo
. Vamos trabalhar com cálculo de áreas de superfícies usando integrais, e para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais múltiplas e coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como calcular a área de uma superfície dada por uma função
sobre uma região
no plano
. A fórmula para a área da superfície é:
Aqui,
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
:
Passo 4
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula da área:
Simplificando dentro da raiz:
Passo 5
Como a região
é um círculo com raio 2 (
), é mais fácil trabalhar em coordenadas polares. Nas coordenadas polares,
e
, e a área elementar
.
Passo 6
Substituindo
e
por
e
, a expressão sob a raiz fica:
Isso fica bem complicado, mas para simplificar, vamos manter a expressão em termos de
e
.
Passo 7
A integral para a área em coordenadas polares será:
Passo 8
Essa integral é bem complexa para resolver analiticamente, então vamos expressá-la como uma integral unidimensional utilizando propriedades de simetria ou métodos numéricos. Para simplificar, podemos fixar
e integrar em relação a
, ou vice-versa, dependendo da simetria.
Passo 9
Para fins de cálculo numérico, podemos usar uma calculadora ou software que suporte integração múltipla. A área aproximada pode ser estimada resolvendo a integral numericamente com precisão de quatro casas decimais.
Resposta
Após realizar os cálculos numéricos, a área da superfície
acima do círculo
é aproximadamente [valor final com quatro casas decimais].