Usar o método de variação dos parâmetros para resolver a equação diferencial
y^prime prime(x)+2 y^prime(x)+2 y(x)=exp (-x)cos ^3(x).

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação
y''(x)+2y'(x)+2y(x)=e^-xcos^3(x)
usando o método de variação dos parâmetros.
Este é um EDO linear não homogênea de segunda ordem. Precisamos primeiro achar a solução geral da homogênea associada, depois aplicar variação dos parâmetros para obter uma particular.

Passo 2

Resolvemos a homogênea
y''+2y'+2y=0
A equação característica é
r^2+2r+2=0Longrightarrow r=-1pm i
Logo uma base de soluções é
y1(x)=e^-xcos x, y2(x)=e^-xsin x
e a solução geral homogênea é
yh(x)=C1,e^-xcos x + C2,e^-xsin x

Passo 3

Calculamos o Wronskiano
W(x)= y1 & y2 y1'& y2'
Temos
y1'= -e^-x(cos x+sin x), y2'= e^-x(cos x-sin x)
Então
W(x) =e^-xcos xcdot e^-x(cos x-sin x) -l[-e^-x(cos x+sin x)r]cdot e^-xsin x =e^-2x

Passo 4

Na variação dos parâmetros, a solução particular é
yp=-y1integraly2,gW,dx +y2integraly1,gW,dx,
onde
g(x)=e^-xcos^3 x, W=e^-2x
Calculamos os dois quocientes:
y2,gW =e^-xsin x;e^-x/cos^3 xe^-2x =sin xcos^3 x =tan x,sec^2 x,
y1,gW =e^-xcos x;e^-x/cos^3 xe^-2x =cos xcos^3 x =sec^2 x

Passo 5

Integramos:
integraltan x,sec^2 x,dx =tan^2 x2, integralsec^2 x,dx=tan x
Logo
yp =-e^-xcos xcdottan^2 x2 +e^-xsin xcdottan x

Passo 6

Simplificamos yp:
-e^-xcos xtan^2 x2 =-e^-x2,sin^2 xcos x, e^-xsin x,tan x =e^-x,sin^2 xcos x
Somando dá
yp =e^-x2,sin^2 xcos x

Passo 7

A solução geral é
y(x)=yh(x)+yp(x) =C1,e^-xcos x + C2,e^-xsin x +e^-x2,sin^2 xcos x

Resposta

boxedy(x)=C1,e^-xcos x + C2,e^-xsin x +e^-x2,sin^2 xcos x,
com C1,C2 constantes arbitrárias.

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