Encontre uma segunda solução independente.
(x^2+1) y^prime prime-2 y=0 ; y1(x)=x^2+1.

Passo 1

O enunciado dá a EDO linear homogênea de segunda ordem
(x^2+1),y''-2y=0
e fornece uma solução y1(x)=x^2+1. Queremos achar uma segunda solução y2(x) independente de y1. Vamos usar o método de redução de ordem.

Passo 2

Primeiro, colocamos a equação na forma padrão
y''+P(x),y'+Q(x),y=0
Dividindo por x^2+1, obtemos
y''-2x^2+1,y=0,
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P(x)=0, Q(x)=-2x^2+1

Passo 3

A fórmula de redução de ordem para uma segunda solução é
y2(x)=y1(x)integral e^-integral P(x),dx(y1(x))^2,dx
Como P(x)=0, temos e^-integral P=1 e
y2(x)=(x^2+1)integral 1(x^2+1)^2,dx

Passo 4

Calculemos a integral
integral dx(x^2+1)^2
Uma primitiva conhecida é
integral dx(x^2+1)^2 =x2(x^2+1)+12arctan(x)+C
Ignorando a constante de integração (absorvível em y2), obtemos
y2(x)=(x^2+1)l(x2(x^2+1)+12arctan(x)r) =x2+x^2+12arctan(x)
Multiplicando por 2 (fator não nulo), uma forma mais simples é
y2(x)=x+(x^2+1)arctan(x)

Resposta

y2(x)=x + (x^2+1)arctan(x)
é uma segunda solução independente de y1(x)=x^2+1.

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