Encontre uma segunda solução independente.
x y^prime prime-y^prime-4 x^3 y=0,(x neq 0) ; y1(x)=exp (x^2).

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x,y'' - y' - 4x^3,y = 0, xneq 0,
sabe-se uma solução y1(x)=exp(x^2) e pede-se uma segunda solução independente. Vamos usar o método de redução de ordem para equações lineares de segunda ordem.

Passo 2

Primeiro colocamos em forma padrão dividindo por x:
y'' - 1x,y' - 4x^2,y = 0
Dessa forma identificamos
P(x) = -1x

Passo 3

Pela fórmula de redução de ordem, uma segunda solução é
y2 = y1 integral e^-integral P(x),dxy1^2,dx
Aqui
-integral P(x),dx = -integrall(-tfrac1xr),dx = ln x,
então e^-integral P,dx=e^ln x=x.

Passo 4

Calculamos o integral
integral xl(e^x^2r)^2,dx = integral x,e^-2x^2,dx
Como
ddxe^-2x^2 = -4x,e^-2x^2,
segue
integral x,e^-2x^2,dx = -tfrac14,e^-2x^2 + C

Passo 5

Logo
y2 = e^x^2l(-tfrac14,e^-2x^2r) propto e^-x^2
Descartamos o fator constante -tfrac14 (absorvido na combinação linear), ficando
y2(x) = e^-x^2

Resposta

A segunda solução independente é
y2(x)=e^-x^2

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