Encontre uma segunda solução independente.
(x-1) y^prime prime-x y^prime+y=0 ; y1(x)=x.

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO homogênea de segunda ordem
(x-1)y'' - x,y' + y = 0
com uma solução conhecida y1(x)=x. Vamos encontrar uma segunda solução independente por redução de ordem.

Passo 2

Dividimos por x-1 (pressuposto xneq1) para obter a forma padrão
y'' + P(x),y' + Q(x),y = 0
onde
P(x) = -xx-1, Q(x) = 1x-1

Passo 3

Pela redução de ordem, uma segunda solução y2 pode ser buscada como
y2(x) = y1(x),integral e^-integral P(x),dxy1(x)^2,dx

Passo 4

Calculamos
-integral P(x),dx = integral xx-1,dx = integrall(1 + 1x-1r),dx = x + lnlvert x-1rvert
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e^-integral P(x),dx = e^x,(x-1)

Passo 5

Substituindo em y2:
y2(x) = x integral e^x(x-1)x^2,dx = x integral e^xl(1x-1x^2r),dx
Observando que
ddxl(e^xxr) = e^x(x-1)x^2,
temos
integral e^xl(1x-1x^2r),dx = e^xx,
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y2(x) = xcdote^xx = e^x

Resposta

A segunda solução independente é
y2(x) = e^x

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