Determine a área da parte da superfície z=raizx^2+y^2 compreendida entre os planos x+y=1, x+2 y=4, x=0, y=0.

Passo 1

O enunciado pede a área da parte da superfície
z = raizx^2 + y^2
compreendida entre os planos verticais
x=0, y=0, x+y=1, x+2y=4
O conteúdo é cálculo de área de superfície z=f(x,y). Vamos usar a fórmula
Área = integral duplaD raiz1 + fx^2 + fy^2,dA, Á
onde D é a projeção no plano xy.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de f(x,y)=raizx^2+y^2:
fx = xraizx^2+y^2, fy = yraizx^2+y^2
Logo,
1 + fx^2 + fy^2 = 1 + x^2x^2+y^2 + y^2x^2+y^2 = 1 + x^2+y^2x^2+y^2 = 2
Isto mostra que o integrando é constante:
raiz1+fx^2+fy^2 = raiz2

Passo 3

Agora vamos descrever a região Dsubset(x,y)mid x>=0,y>=0 limitada por
x+y=1 e x+2y=4
Em coordenadas xy, D é o quadrilátero cujos vértices, obtidos nas interseções das retas com os eixos, são
(1,0),,(4,0),,(0,2),,(0,1).

Passo 4

Para achar a área de D usamos uma integral dupla. Notamos que, para 0<= x<=1, a porção de D tem
yin [,1-x,,(4-x)/2,],
e para 1<= x<=4, tem
yin [,0,,(4-x)/2,]
Portanto
Área(D) =integral0^1l(4-x2-(1-x)r)dx +integral1^4l(4-x2-0r)dx Á
Calculemos cada parte:
integral0^1l(4-x2-(1-x)r)dx =integral0^1x+22,dx =12l[tfracx^22+2xr]0^1 =54,
integral1^44-x2,dx =12l[4x-tfracx^22r]1^4 =12l((16-8)-(4-0.5)r) =94
Somando dá
Área(D)=54+94=144=72 Á

Passo 5

Finalmente, a área da superfície é
Área = integral duplaDraiz2,dA = raiz2,Área(D) = raiz2,72 = 7raiz22 ÁÁ

Resposta

7raiz22

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