[13.2] Determine o vetor tangente unitário T(t) no ponto com valor de parâmetro dado t.
r(t)=lang<=tg^-1(t), 2 e^2 t, 8 t e^trang<=, t=0

Passo 1

O enunciado dá a curva
r(t)=llang<= tan^-1(t),,2e^2t,,8t,e^trrang<=
e pede o vetor tangente unitário T(t) no ponto t=0. Para isso precisamos:
  1. calcular a derivada r'(t),
  2. avaliar em t=0,
  3. achar a norma desse vetor e
  4. dividir r'(0) pela sua norma.

Passo 2

Derivando cada componente:
r'(t) =gllang<= ddttan^-1(t),;ddt(2e^2t),;ddtl(8t,e^tr)grrang<= =llang<= tfrac11+t^2,;4e^2t,;8l(e^t + t,e^tr)rrang<= =llang<= tfrac11+t^2,;4e^2t,;8e^t(1+t)rrang<=

Passo 3

Avalia em t=0:
r'(0)=llang<= 1,;4,;8rrang<=

Passo 4

Calcula a norma:
|r'(0)|=raiz1^2+4^2+8^2 =raiz1+16+64 =raiz81 =9

Passo 5

Forma o vetor tangente unitário em t=0:
T(0) =r'(0)|r'(0)| =19llang<= 1,4,8rrang<= =llang<= tfrac19,,tfrac49,,tfrac89rrang<=

Resposta

T(0)=llang<= tfrac19,,tfrac49,,tfrac89rrang<=.

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