Determine se F é um campo vetorial conservativo. Se for, encontre uma função potencial para ele
F(t)=x i+y j

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial F(x,y)=xi+yj. Pergunta se esse campo é conservativo e, em caso afirmativo, pede uma função potencial. Vamos usar o teste de igualdade das derivadas parciais cruzadas e depois integrar para achar a potencial.

Passo 2

Em R^2 (domínio simplesmente conexo), F=Pi+Qj é conservativo se e somente se
partial Ppartial y ;=;partial Qpartial x
Aqui temos P(x,y)=x e Q(x,y)=y, então
partial Ppartial y=0 e partial Qpartial x=0
Como 0=0, concluímos que F é conservativo.

Passo 3

Procuramos phi(x,y) tal que nablaphi=F. Primeiro integramos
partial phipartial x=x
em x para obter
phi(x,y)=integral x,dx=x^22+g(y),
em que g é função isolada de y.

Passo 4

Para determinar g(y), usamos a segunda componente:
partial phipartial y=g'(y)stackrel!=y
Integrando em y,
g(y)=integral y,dy=y^22+C
Substituindo de volta,
phi(x,y)=x^22+y^22+C

Resposta

F é conservativo e uma função potencial é
phi(x,y)=x^2+y^22+C

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