Determine se
é um campo vetorial conservativo. Se for, encontre uma função potencial para ele
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial
. Pergunta se esse campo é conservativo e, em caso afirmativo, pede uma função potencial. Vamos usar o teste de igualdade das derivadas parciais cruzadas e depois integrar para achar a potencial.
Passo 2
Em
(domínio simplesmente conexo),
é conservativo se e somente se
Aqui temos
e
, então
Como
, concluímos que
é conservativo.
Passo 3
Procuramos
tal que
. Primeiro integramos
em
para obter
em que
é função isolada de
.
Passo 4
Para determinar
, usamos a segunda componente:
Integrando em
,
Substituindo de volta,