Determine se F é um campo vetorial conservativo. Se for, encontre uma função potencial para ele
F(t)=3 y^2 i+6 x y j

Passo 1

O enunciado dá um campo vetorial F(x,y) = 3y^2,i + 6xy,j e pede para verificar se ele é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial. Vamos usar o critério de igualdade das derivadas cruzadas em um domínio simplesmente conexo e depois integrar para obter a potencial.

Passo 2

Identificamos as componentes
P(x,y) = 3y^2, Q(x,y) = 6xy
O campo é conservativo se
partial Ppartial y = partial Qpartial x
Calculando:
partial Ppartial y = partialpartial y(3y^2) = 6y,
partial Qpartial x = partialpartial x(6xy) = 6y
Como 6y = 6y, F é conservativo em todo R^2.

Passo 3

Para achar a função potencial phi(x,y) satisfazendo
nabla phi = F,
integramos P em relação a x:
phi(x,y) = integral 3y^2 ,dx = 3xy^2 + C(y),
onde C(y) é uma “constante” que pode depender de y.

Passo 4

Derivamos phi em relação a y e igualamos a Q:
partial phipartial y = partialpartial yl(3xy^2 + C(y)r) = 6xy + C'(y) stackrel!= 6xy
Daí C'(y)=0, logo C(y) é constante.

Resposta

Uma função potencial é
phi(x,y) = 3xy^2 + C,
onde C é constante.

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