Determine se
é um campo vetorial conservativo. Se for, encontre uma função potencial para ele
Passo 1
O enunciado dá um campo vetorial
e pede para verificar se ele é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial. Vamos usar o critério de igualdade das derivadas cruzadas em um domínio simplesmente conexo e depois integrar para obter a potencial.
Passo 2
Identificamos as componentes
O campo é conservativo se
Calculando:
Como
,
é conservativo em todo
.
Passo 3
Para achar a função potencial
satisfazendo
integramos
em relação a
:
onde
é uma “constante” que pode depender de
.
Passo 4
Derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Daí
, logo
é constante.
Resposta
Uma função potencial é
onde
é constante.