Calcule o trabalho realizado pela força F na partícula que se move ao longo de C
F(x, y, z)=(x y z+x) i+(x^2 y+y) j+(x^2 y+ z) k, ao longo de r(t)=t i+t^2 j+t^3 k, onde 0 <= t <= 2

Passo 1

O enunciado pede o trabalho realizado por uma força F(x,y,z) ao longo de uma curva C dada pela parametrização r(t), 0<= t<=2. O conteúdo aqui é integral de linha de um campo vetorial:
W=integralCFcdot dr=integral0^2Fl(r(t)r)cdotr'(t),dt

Passo 2

Calculemos primeiro a derivada da parametrização:
r(t)=(t,;t^2,;t^3) Longrightarrow r'(t)=(1,;2t,;3t^2)

Passo 3

Substituímos r(t) em F(x,y,z). Como x=t, y=t^2, z=t^3,
Fx = xyz + x = tcdot t^2cdot t^3 + t = t^6 + t,
Fy = x^2y + y = t^2cdot t^2 + t^2 = t^4 + t^2,
Fz = x^2y + z = t^2cdot t^2 + t^3 = t^4 + t^3
Logo,
Fl(r(t)r) = l(t^6+t,;t^4+t^2,;t^4+t^3r)

Passo 4

Agora fazemos o produto escalar F(r(t))cdotr'(t):
(t^6+t)cdot1 ;+;(t^4+t^2)cdot(2t);+;(t^4+t^3)cdot(3t^2)
Expandindo,
t^6 + t + 2t^5 + 2t^3 + 3t^6 + 3t^5 =4t^6 +5t^5 +2t^3 +t

Passo 5

Integramos de 0 a 2:
W=integral0^2l(4t^6+5t^5+2t^3+tr),dt = [47t^7 + 56t^6 + 12t^4 + 12t^2]0^2
Em t=2 isso vale
47,2^7 ;+;56,2^6;+;12,2^4;+;12,2^2 =5127 + 1603 + 8 +2
Colocando em denominador comum 21, obtemos
W=286621

Resposta

286621

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