Calcule o trabalho realizado pela força F na partícula que se move ao longo de C
F(x, y, z)=e^x i+e^y j+e^z j, ao longo de r(t)=t i+t^2 j+t^3 k, onde 0 <= t <= 2

Passo 1

O enunciado pede o trabalho realizado por um campo vetorial ao longo de uma curva. O conteúdo é integral de linha de um campo vetorial não conservativo (ainda que neste caso seja conservativo, não vamos usar potencial). Precisamos parametrizar a curva, computar r'(t), avaliar F em r(t), formar o produto escalar e integrar de t=0 até t=2.

Passo 2

A derivada da parametrização r(t)=t,i+t^2,j+t^3,k é\r
r'(t)=ddtl(t,t^2,t^3r)=(1,,2t,,3t^2)

Passo 3

Substituindo r(t) em F(x,y,z)=(e^x,e^y,e^z) (corrigindo o segundo j para k), obtemos\r
Fl(r(t)r)=l(e^t,;e^t^2,;e^t^3r)

Passo 4

O produto escalar é\r

Passo 5

O trabalho é a integral\r
W=integralC Fcdot dr =integral0^2l(e^t + 2t,e^t^2 + 3t^2,e^t^3r),dt, \r
que se separa em três integrais:\r
integral0^2e^t,dt, integral0^22t,e^t^2,dt, integral0^23t^2,e^t^3,dt

Passo 6

Para a primeira:\r
integral0^2e^t,dt = l[e^tr]0^2 = e^2 - 1

Passo 7

Para a segunda, use u=t^2, du=2t,dt, limites de u: 0 a 4:\r
integral0^22t,e^t^2,dt = integral0^4e^u,du = l[e^ur]0^4 = e^4 - 1

Passo 8

Para a terceira, use v=t^3, dv=3t^2,dt, limites de v: 0 a 8:\r
integral0^23t^2,e^t^3,dt = integral0^8e^v,dv = l[e^vr]0^8 = e^8 - 1

Passo 9

Somando as três parcelas,\r
W=(e^2-1)+(e^4-1)+(e^8-1)=e^2 + e^4 + e^8 - 3

Resposta

W = e^2 + e^4 + e^8 - 3

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