[13.3] [a] Determine os vetores tangente e normal unitários T(t) e N(t).
OBS: O vetor normal é N(t)=T^prime(t)|T^prime(t)|.
[19] r(t)=lang<=raiz2 t, e^t, e^-trang<=

Passo 1

O enunciado pede os vetores tangente unitário
T(t)=dfracr'(t)llvertr'(t)rrvert
e normal unitário
N(t)=dfracT'(t)lvert T'(t)rvert
para a curva
r(t)=llang<= raiz2,t,;e^t,;e^-trrang<=
Vamos precisar calcular derivadas, magnitudes e, por fim, normalizar.

Passo 2

Calculemos primeiro
r'(t) e seu módulo.
r'(t) =llang<= raiz2,;e^t,;-e^-trrang<=,
llvertr'(t)rrvert =raiz(raiz2)^2 + (e^t)^2 + (-e^-t)^2 =raiz2 + e^2t + e^-2t =e^t + e^-t
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T(t) =1e^t + e^-t llang<= raiz2,;e^t,;-e^-trrang<=

Passo 3

Agora derivamos T(t). Defina D=e^t+e^-t, então
T(t)=1Dlang<= raiz2,;e^t,;-e^-trang<=, D' = e^t - e^-t
Pelo produto quociente,
T'(t) =-D'D^2lang<= raiz2,e^t,-e^-trang<= +1Dlang<= 0,e^t,e^-trang<=
Ao simplificar cada componente, obtemos
T'(t) =gllang<= -raiz2,(e^t - e^-t)D^2,; 2D^2,; 2D^2 grrang<=

Passo 4

Calculamos o módulo de T'(t):
llvertT'(t)rrvert =1D^2 raiz2(e^t-e^-t)^2 + 2^2 + 2^2 =1D^2raiz2D^2 =raiz2D

Passo 5

Finalmente o vetor normal unitário
N(t)=T'(t)/lvertT'(t)rvert fica
N(t) =1raiz2D gllang<= -raiz2,(e^t - e^-t)D^2,; 2D^2,; 2D^2 grrang<= =gllang<= -e^t - e^-tD,; raiz2D,; raiz2D grrang<=,
onde D=e^t+e^-t.

Resposta

T(t) =1e^t+e^-t llang<= raiz2,;e^t,;-e^-trrang<=, N(t) =1e^t+e^-t llang<= -(e^t - e^-t),;raiz2,;raiz2 rrang<=

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