Use uma soma de Riemann para aproximar o valor da integral integrala^b f(x) d x, usando uma partição com subintervalos de comprimento De<a x, e tomando wk in[xk-1, x k] como o extremo direito xk de cada subintervalo:
integral-1^2(2 x+1) d x ; De<a x=0,5

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa usar uma soma de Riemann para aproximar o valor da integral integral-1^2 (2x + 1) , dx. Isso vai envolver dividir o intervalo de integração [-1, 2] em subintervalos de comprimento De<a x = 0,5 e usar os pontos mais à direita de cada subintervalo para calcular a soma. Vamos precisar conhecer um pouco sobre integrais, somas de Riemann e como trabalhar com partições de intervalos. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos determinar quantos subintervalos teremos no nosso intervalo [-1, 2]. Para isso, usamos a fórmula:
n = b - aDe<a x
Onde:
  • a = -1 (limite inferior)
  • b = 2 (limite superior)
  • De<a x = 0,5 (comprimento de cada subintervalo)
Calculando:
n = 2 - (-1)0,5 = 30,5 = 6
Então, teremos 6 subintervalos.

Passo 3

Agora, vamos identificar os pontos de divisão ( x0, x1, dots, x6) do intervalo [-1, 2]:
x0 = -1 x1 = x0 + De<a x = -1 + 0,5 = -0,5 x2 = x1 + De<a x = -0,5 + 0,5 = 0 x3 = 0 + 0,5 = 0,5 x4 = 0,5 + 0,5 = 1 x5 = 1 + 0,5 = 1,5 x6 = 1,5 + 0,5 = 2
Então, os pontos são: -1, -0,5, 0, 0,5, 1, 1,5, e 2.

Passo 4

Como vamos usar os pontos mais à direita de cada subintervalo ( wk = xk), vamos listar esses pontos que vamos usar para calcular a soma:
w1 = x1 = -0,5 w2 = x2 = 0 w3 = x3 = 0,5 w4 = x4 = 1 w5 = x5 = 1,5 w6 = x6 = 2

Passo 5

Agora, vamos avaliar a função f(x) = 2x + 1 em cada um desses pontos:
f(w1) = 2(-0,5) + 1 = -1 + 1 = 0 f(w2) = 2(0) + 1 = 0 + 1 = 1 f(w3) = 2(0,5) + 1 = 1 + 1 = 2 f(w4) = 2(1) + 1 = 2 + 1 = 3 f(w5) = 2(1,5) + 1 = 3 + 1 = 4 f(w6) = 2(2) + 1 = 4 + 1 = 5

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula da soma de Riemann com os pontos à direita:
S = De<a x cdot [ f(w1) + f(w2) + f(w3) + f(w4) + f(w5) + f(w6) ]
Substituindo os valores:
S = 0,5 cdot (0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 0,5 cdot 15 = 7,5

Resposta

A aproximação da integral integral-1^2 (2x + 1) , dx usando a soma de Riemann com subintervalos de comprimento 0,5 e pontos à direita é 7,5.

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