Determine as seguintes derivadas
dd x integral0^x 2t^2+3 d t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da integral dd x integral0^x 2t^2+3 , dt. Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, mais especificamente com o Teorema Fundamental do Cálculo. Para resolver, vamos usar esse teorema que conecta derivadas e integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que o Teorema Fundamental do Cálculo nos diz. Ele afirma que se temos uma função F(x) = integrala^x f(t) , dt, então a derivada de F(x) em relação a x é simplesmente f(x). Ou seja, dFdx = f(x).

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso, a função dentro da integral é f(t) = 2t^2+3. Então, de acordo com o teorema, a derivada da integral em relação a x vai ser exatamente essa função avaliada em x.

Passo 4

Portanto, a derivada dd x integral0^x 2t^2+3 , dt é igual a 2x^2+3.

Resposta

dd x integral0^x 2t^2+3 , dt = 2x^2+3

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