Suponha que
Determine o número
que cumpre o enunciado do teorema do valor médio.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo que usa o Teorema do Valor Médio para Integrais. Basicamente, a gente sabe que a integral de uma função entre dois pontos dá a área sob a curva. Aqui, a integral de
de
a
é igual a
. A gente vai precisar usar esse teorema para achar um número
que representa o “valor médio” da função nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema do Valor Médio para Integrais. Ele afirma que existe pelo menos um ponto
no intervalo
tal que:
Ou seja, o valor da função em
é igual à média da função no intervalo.
Passo 3
No nosso caso,
e
. A integral dada é:
Então, podemos calcular a média da função no intervalo:
Então, precisamos encontrar
tal que:
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação
:
Primeiro, subtrai 8 de ambos os lados para igualar a zero:
Passo 5
Vamos resolver a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
, e
.
Calculando o discriminante (
):
Então,
Passo 6
Isso nos dá duas soluções:
Passo 7
Agora, verificamos em qual intervalo
está. Nosso intervalo é
. O valor
está exatamente no limite inferior, e geralmente consideramos
dentro do intervalo aberto
. Portanto, a solução válida é:
Resposta
O número
que satisfaz o teorema do valor médio é
.