Suponha que
integral-1^3(3 x^2-2 x+3) d x=32
Determine o número z que cumpre o enunciado do teorema do valor médio.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo que usa o Teorema do Valor Médio para Integrais. Basicamente, a gente sabe que a integral de uma função entre dois pontos dá a área sob a curva. Aqui, a integral de 3x^2 - 2x + 3 de -1 a 3 é igual a 32. A gente vai precisar usar esse teorema para achar um número z que representa o “valor médio” da função nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema do Valor Médio para Integrais. Ele afirma que existe pelo menos um ponto z no intervalo [a, b] tal que:
f(z) = 1b - a integrala^b f(x) , dx
Ou seja, o valor da função em z é igual à média da função no intervalo.

Passo 3

No nosso caso, a = -1 e b = 3. A integral dada é:
integral-1^3 (3x^2 - 2x + 3) , dx = 32
Então, podemos calcular a média da função no intervalo:
f(z) = 13 - (-1) times 32 = 14 times 32 = 8
Então, precisamos encontrar z tal que:
3z^2 - 2z + 3 = 8

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação 3z^2 - 2z + 3 = 8:
Primeiro, subtrai 8 de ambos os lados para igualar a zero:
3z^2 - 2z + 3 - 8 = 0 3z^2 - 2z - 5 = 0

Passo 5

Vamos resolver a equação quadrática 3z^2 - 2z - 5 = 0 usando a fórmula de Bhaskara:
z = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, a = 3, b = -2, e c = -5.
Calculando o discriminante ( De<a):
De<a = (-2)^2 - 4 times 3 times (-5) = 4 + 60 = 64
Então,
z = 2 pm raiz646 = 2 pm 86

Passo 6

Isso nos dá duas soluções:
  1. z = 2 + 86 = 106 = 53 approx 1,666
  2. z = 2 - 86 = -66 = -1

Passo 7

Agora, verificamos em qual intervalo z está. Nosso intervalo é [-1, 3]. O valor z = -1 está exatamente no limite inferior, e geralmente consideramos z dentro do intervalo aberto (-1, 3). Portanto, a solução válida é:

Resposta

O número z que satisfaz o teorema do valor médio é z = dfrac53.

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