[13.4] Determine os vetores velocidade v(t) e posição r(t) de uma partícula, dadas a sua aceleração em qualquer instante t, e as suas velocidade e posição no instante t=0.
[16] a(t)=t i+e^t j+cos (2 t) k, v(0)=j, r(0)=j-4 k

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a aceleração
a(t)=t,i+e^t,j+cos(2t),k,
a velocidade inicial v(0)=j e a posição inicial r(0)=j-4k.
O conteúdo aqui é integração componente a componente de vetores e aplicação de condições iniciais para determinar constantes de integração.

Passo 2

Para obter v(t) integramos a(t):
v(t) =integrala(t),dt =integral t,dt,i+integral e^t,dt,j+integralcos(2t),dt,k =l(tfract^22+C1r)i+(e^t+C2)j+l(tfrac12sin(2t)+C3r)k
Em t=0 vale
v(0)=C1,i+(1+C2),j+C3,k =j,
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C1=0, 1+C2=1implies C2=0, C3=0
Portanto
v(t)=t^22,i+e^t,j+12sin(2t),k

Passo 3

Para obter r(t) integramos v(t):
r(t) =integralv(t),dt =integralt^22,dt,i+integral e^t,dt,j+integral12sin(2t),dt,k =l(tfract^36+D1r)i+(e^t+D2)j+l(-tfrac14cos(2t)+D3r)k
Em t=0 temos
r(0)=D1,i+(1+D2),j+l(-tfrac14+D3r)k =j-4k,
daí
D1=0, 1+D2=1implies D2=0, -tfrac14+D3=-4implies D3=-tfrac154
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r(t)=t^36,i+e^t,j+l(-14cos(2t)-154r)k

Resposta

v(t)=t^22,i+e^t,j+12sin(2t),k,
r(t)=t^36,i+e^t,j+l(-tfrac14cos(2t)-tfrac154r)k

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