[13.4] Determine os vetores velocidade v(t) e posição r(t) de uma partícula, dadas a sua aceleração em qualquer instante t, e as suas velocidade e posição no instante t=0.
[18] a(t)=t i+t j+e^-t k, v(0)=k, r(0)=j+4 k

Passo 1

O enunciado nos dá a aceleração de uma partícula em cada instante
a(t)=t, i + t, j + e^-t, k
e pede para determinar as funções velocidade v(t) e posição r(t), sabendo que
v(0)=k e r(0)=j+4k.
O conteúdo é integração de funções vetoriais e aplicação de condições iniciais para achar as constantes de integração.

Passo 2

Integramos componente a componente para obter a forma geral de v(t).
v(t)=integral a(t),dt =integral t,dt, i+integral t,dt, j+integral e^-t,dt, k =l(tfract^22+C1r) i+l(tfract^22+C2r) j+l(-e^-t+C3r) k,
onde C1,C2,C3 são constantes de integração.

Passo 3

Usamos v(0)=k=0, i+0, j+1, k. Em t=0:
v(0)=C1, i+C2, j+(-1+C3), k ;=;0, i+0, j+1, k
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C1=0, C2=0, -1+C3=1implies C3=2
Portanto
v(t)=t^22, i+t^22, j+l(2-e^-tr) k

Passo 4

Integramos agora v(t) para obter r(t).
r(t)=integral v(t),dt =integral t^22,dt, i+integral t^22,dt, j+integrall(2-e^-tr),dt, k =l(tfract^36+D1r) i+l(tfract^36+D2r) j+l(e^-t+2t+D3r) k,
com constantes D1,D2,D3.

Passo 5

Usamos r(0)=j+4k=0, i+1, j+4, k. Em t=0:
r(0)=D1, i+D2, j+(1+D3), k ;=;0, i+1, j+4, k
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D1=0, D2=1, 1+D3=4implies D3=3
Portanto
r(t)=t^36, i+l(t^36+1r) j+l(e^-t+2t+3r) k

Resposta

v(t)=t^22, i+t^22, j+l(2-e^-tr) k,
r(t)=t^36, i+l(t^36+1r) j+l(e^-t+2t+3r) k

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