Determine as seguintes integrais indefinidas
integral (raizt+1)t^3 d t.

Passo 1

Vamos resolver a integral indefinida integral (raizt + 1)t^3 , dt. Esse problema envolve o conteúdo de integrais, especificamente a integração de funções racionais e potências de t. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão e aplicar as regras básicas de integração de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão dentro da integral para facilitar a simplificação. Sabemos que raizt pode ser escrito como t^1/2. Então, a integral fica:
integral t^1/2 + 1t^3 , dt

Passo 3

Agora, vamos dividir cada termo do numerador pelo denominador t^3:
integral ( t^1/2t^3 + 1t^3 ) , dt
Simplificando as potências de t, lembrando que t^at^b = t^a - b:
integral ( t^1/2 - 3 + t^0 - 3 ) , dt = integral ( t^-5/2 + t^-3 ) , dt

Passo 4

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. A regra de integração para potências de t é:
integral t^n , dt = t^n+1n+1 + C (onde n neq -1)
Aplicando essa regra aos termos da nossa integral:
  1. Para t^-5/2:
integral t^-5/2 , dt = t^-5/2 + 1-5/2 + 1 = t^-3/2-3/2 = -23 t^-3/2
  1. Para t^-3:
integral t^-3 , dt = t^-3 + 1-3 + 1 = t^-2-2 = -12 t^-2

Resposta

A integral é igual a:
- 23 t^-3/2 - 12 t^-2 + C

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