(13-41) Duas estrelas de nêutrons estão separadas por uma distância de
. Ambas têm massa de
e raio de
. As estrelas se encontram inicialmente em repouso relativo. Com que velocidade estarão se movendo, em relação a esse referencial de repouso, quando estiverem na iminência de colidir?
(Resp. (a)
; (b)
.)
(Resp. (a)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas estrelas de nêutrons, cada uma com uma massa de
e raio de
, separadas inicialmente por uma distância de
. Elas estão paradas em relação uma à outra no começo. A pergunta é: com que velocidade elas estarão se movendo quando estiverem quase colidindo?
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de Energia Potencial Gravitacional e Energia Cinética, além do Princípio da Conservação da Energia. Basicamente, a energia potencial gravitacional entre elas vai se transformar em energia cinética à medida que elas se aproximam.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a Energia Potencial Gravitacional inicial entre as duas estrelas quando estão separadas por
. A fórmula para a energia potencial gravitacional (
) entre duas massas é:
Como ambas as massas são iguais (
) e
, podemos simplificar:
Onde
é a constante gravitacional,
.
Passo 3
Agora, quando as estrelas estiverem quase colidindo, a distância entre elas será igual à soma de seus raios. Como cada uma tem raio
, a distância final
será:
Então, a energia potencial final será:
Passo 4
A diferença de energia potencial entre o início e o final será convertida em energia cinética das estrelas. Ou seja:
Como há duas estrelas, cada uma terá metade dessa energia cinética total. A energia cinética (
) de uma estrela será:
Onde
é a velocidade que queremos encontrar.
Passo 5
Vamos agora calcular
:
Simplificando:
Passo 6
Igualamos essa diferença à energia cinética total das duas estrelas:
Portanto:
Passo 7
Vamos resolver para
:
Simplificando mais:
Passo 8
Agora, vamos inserir os valores numéricos. Primeiro, calculamos cada termo separadamente:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
Passo 9
Somando os dois termos para encontrar
:
O resultado negativo indica que a energia potencial diminuiu, o que faz sentido porque elas estão se aproximando.
Passo 10
Como estamos interessados na velocidade, que é a raiz quadrada de
, descartamos o sinal negativo:
Convertendo para km/s:
Resposta
As estrelas de nêutrons estarão se movendo a aproximadamente
quando estiverem na iminência de colidir.