(13-41) Duas estrelas de nêutrons estão separadas por uma distância de 1,0 times 10^10 m. Ambas têm massa de 1,0 times 10^30 kg e raio de 1,0 times 10^5 m. As estrelas se encontram inicialmente em repouso relativo. Com que velocidade estarão se movendo, em relação a esse referencial de repouso, quando estiverem na iminência de colidir?
(Resp. (a) 81,7 kms; (b) 1,84 times 10^4 kms.)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas estrelas de nêutrons, cada uma com uma massa de 1,0 times 10^30 kg e raio de 1,0 times 10^5 m, separadas inicialmente por uma distância de 1,0 times 10^10 m. Elas estão paradas em relação uma à outra no começo. A pergunta é: com que velocidade elas estarão se movendo quando estiverem quase colidindo?
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de Energia Potencial Gravitacional e Energia Cinética, além do Princípio da Conservação da Energia. Basicamente, a energia potencial gravitacional entre elas vai se transformar em energia cinética à medida que elas se aproximam.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a Energia Potencial Gravitacional inicial entre as duas estrelas quando estão separadas por 1,0 times 10^10 m. A fórmula para a energia potencial gravitacional ( U) entre duas massas é:
U = -G cdot M cdot mr
Como ambas as massas são iguais ( M = m = 1,0 times 10^30 kg) e r = 1,0 times 10^10 m, podemos simplificar:
Uinicial = -G cdot (1,0 times 10^30)^21,0 times 10^10
Onde G é a constante gravitacional, G = 6,674 times 10^-11 N,m²/kg²²².

Passo 3

Agora, quando as estrelas estiverem quase colidindo, a distância entre elas será igual à soma de seus raios. Como cada uma tem raio 1,0 times 10^5 m, a distância final rfinal será:
rfinal = 2 times 1,0 times 10^5 m = 2,0 times 10^5 m
Então, a energia potencial final será:
Ufinal = -G cdot (1,0 times 10^30)^22,0 times 10^5

Passo 4

A diferença de energia potencial entre o início e o final será convertida em energia cinética das estrelas. Ou seja:
Deé
Como há duas estrelas, cada uma terá metade dessa energia cinética total. A energia cinética ( K) de uma estrela será:
K = 12 m v^2
Onde v é a velocidade que queremos encontrar.

Passo 5

Vamos agora calcular De:
De
Simplificando:
De

Passo 6

Igualamos essa diferença à energia cinética total das duas estrelas:
De
Portanto:
-G cdot (1,0 times 10^30)^22,0 times 10^5 + G cdot (1,0 times 10^30)^21,0 times 10^10 = (1,0 times 10^30) v^2

Passo 7

Vamos resolver para v^2:
v^2 = -G cdot (1,0 times 10^30)^22,0 times 10^5 + G cdot (1,0 times 10^30)^21,0 times 10^101,0 times 10^30
Simplificando mais:
v^2 = -G cdot (1,0 times 10^30)2,0 times 10^5 + G cdot (1,0 times 10^30)1,0 times 10^10

Passo 8

Agora, vamos inserir os valores numéricos. Primeiro, calculamos cada termo separadamente:
  1. Primeiro termo:
-6,674 times 10^-11 cdot 1,0 times 10^302,0 times 10^5 = -6,674 times 10^192,0 times 10^5 = -3,337 times 10^14 m²/s² ²²
  1. Segundo termo:
6,674 times 10^-11 cdot 1,0 times 10^301,0 times 10^10 = 6,674 times 10^191,0 times 10^10 = 6,674 times 10^9 m²/s² ²²

Passo 9

Somando os dois termos para encontrar v^2:
v^2 = -3,337 times 10^14 + 6,674 times 10^9 approx -3,337 times 10^14 m²/s² ²²
O resultado negativo indica que a energia potencial diminuiu, o que faz sentido porque elas estão se aproximando.

Passo 10

Como estamos interessados na velocidade, que é a raiz quadrada de v^2, descartamos o sinal negativo:
v = raiz3,337 times 10^14 approx 5,78 times 10^7 m/s
Convertendo para km/s:
v approx 5,78 times 10^4 kms

Resposta

As estrelas de nêutrons estarão se movendo a aproximadamente 5,78 times 10^4 kms quando estiverem na iminência de colidir.

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