(13-65) Um satélite está em uma órbita circular de raio r em torno da Terra. A área A delimitada pela órbita é proporcional a r^2, já que A=pi r^2. Determine a forma de variação com r da seguinte propriedade do satélite: a velocidade escalar.
(Resp. (a) 2 piraizG M r^32; (b) G M m2 r; © m raizG M r; (d) raizG Mr.)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um satélite que está em órbita circular ao redor da Terra. A gente precisa descobrir como a velocidade escalar desse satélite varia de acordo com o raio da órbita, que é representado por $ r $.
Vamos usar conceitos de Mecânica Orbital, especificamente a Lei da Gravitação Universal de Newton e a relação entre força centrípeta e força gravitacional para órbitas circulares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um satélite manter uma órbita circular, a força centrípeta necessária para mantê-lo nessa trajetória deve ser igual à força gravitacional que a Terra exerce sobre ele.
A força centrípeta ($ F_c $) é dada por:
Fc
onde:
  • $ m $ é a massa do satélite,
  • $ v $ é a velocidade escalar do satélite,
  • $ r $ é o raio da órbita.

Passo 3

A força gravitacional ($ F_g $) entre a Terra e o satélite é dada pela Lei da Gravitação Universal:
Fg
onde:
  • $ G $ é a constante gravitacional,
  • $ M $ é a massa da Terra,
  • $ m $ é a massa do satélite,
  • $ r $ é o raio da órbita.

Passo 4

Como a força centrípeta deve igualar a força gravitacional para manter a órbita circular, vamos igualar $ F_c $ e $ F_g $:
Fc

Passo 5

Agora, vamos simplificar essa equação. Primeiro, podemos cancelar a massa $ m $ dos dois lados:
m

Passo 6

Em seguida, multiplicamos ambos os lados por $ r $ para isolar $ v^2 $:
r

Passo 7

Para encontrar a velocidade escalar $ v $, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
v

Resposta

A velocidade escalar do satélite varia com o raio da órbita segundo a forma $ v = \sqrt{\frac{G M}{r}} $. Portanto, a resposta correta é a opção (d) $ \sqrt{\frac{G M}{r}} $.

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