(13-65) Um satélite está em uma órbita circular de raio
em torno da Terra. A área
delimitada pela órbita é proporcional a
, já que
. Determine a forma de variação com
da seguinte propriedade do satélite: a velocidade escalar.
(Resp. (a)
; (b)
; ©
; (d)
.)
(Resp. (a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um satélite que está em órbita circular ao redor da Terra. A gente precisa descobrir como a velocidade escalar desse satélite varia de acordo com o raio da órbita, que é representado por $ r $.
Vamos usar conceitos de Mecânica Orbital, especificamente a Lei da Gravitação Universal de Newton e a relação entre força centrípeta e força gravitacional para órbitas circulares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para um satélite manter uma órbita circular, a força centrípeta necessária para mantê-lo nessa trajetória deve ser igual à força gravitacional que a Terra exerce sobre ele.
A força centrípeta ($ F_c $) é dada por:
onde:
- $ m $ é a massa do satélite,
- $ v $ é a velocidade escalar do satélite,
- $ r $ é o raio da órbita.
Passo 3
A força gravitacional ($ F_g $) entre a Terra e o satélite é dada pela Lei da Gravitação Universal:
onde:
- $ G $ é a constante gravitacional,
- $ M $ é a massa da Terra,
- $ m $ é a massa do satélite,
- $ r $ é o raio da órbita.
Passo 4
Como a força centrípeta deve igualar a força gravitacional para manter a órbita circular, vamos igualar $ F_c $ e $ F_g $:
Passo 5
Agora, vamos simplificar essa equação. Primeiro, podemos cancelar a massa $ m $ dos dois lados:
Passo 6
Em seguida, multiplicamos ambos os lados por $ r $ para isolar $ v^2 $:
Passo 7
Para encontrar a velocidade escalar $ v $, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
A velocidade escalar do satélite varia com o raio da órbita segundo a forma $ v = \sqrt{\frac{G M}{r}} $. Portanto, a resposta correta é a opção (d) $ \sqrt{\frac{G M}{r}} $.