(13-Extra) Considere um pulsar, uma estrela de densidade extremamente elevada, com uma massa M igual à do Sol (1,98 times 10^30 kg), um raio R de apenas 12 km e um período de rotação T de 0,041 s s. Qual é a diferença percentual entre a aceleração de queda livre g e a aceleração gravitacional ag no equador dessa estrela esférica?
(Resp. gamma=|ag-g|ag=3,27 times 10^-4=0,0327 %.)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que fala sobre um pulsar, que é uma estrela super densa. Aqui, a gente tem que achar a diferença percentual entre a aceleração de queda livre ( g) e a aceleração gravitacional ( ag) no equador dessa estrela. Para isso, vamos usar conceitos de gravitação e movimento circular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a aceleração de queda livre ( g). Ela é a aceleração que um objeto experiênciaria por causa da gravidade da estrela. A fórmula para calcular g é:
g = G cdot MR^2
Onde:
  • G é a constante gravitacional ( 6,674 times 10^-11 , Ncdotm^2/kg^2),
  • M é a massa da estrela,
  • R é o raio da estrela.

Passo 3

Agora, vamos calcular g usando os valores fornecidos:
  • Massa M = 1,98 times 10^30 , kg,
  • Raio R = 12 , km = 12.000 , m.
Substituindo na fórmula:
g = 6,674 times 10^-11 times 1,98 times 10^30(12.000)^2

Passo 4

Fazendo as contas:
g = 6,674 times 10^-11 times 1,98 times 10^30144.000.000
g = 1,320 times 10^201,44 times 10^8
g approx 9,17 times 10^11 , m/s^2

Passo 5

Em seguida, precisamos calcular a aceleração gravitacional no equador ( ag). Como a estrela está girando, há uma aceleração centrípeta que reduz a aceleração gravitacional efetiva. A fórmula para a aceleração centrípeta ( ac) é:
ac = 4pi^2 RT^2
Onde:
  • T é o período de rotação.

Passo 6

Vamos calcular ac com os valores fornecidos:
  • Raio R = 12.000 , m,
  • Período T = 0,041 , s.
Substituindo na fórmula:
ac = 4 pi^2 times 12.000(0,041)^2

Passo 7

Fazendo as contas:
ac = 4 times 9,8696 times 12.0000,001681
ac = 473,66 times 12.0000,001681
ac approx 5,6839 times 10^30,001681
ac approx 3,377 times 10^6 , m/s^2

Passo 8

Agora, a aceleração gravitacional efetiva no equador ( ag) é a diferença entre g e ac:
ag = g - ac
Substituindo os valores:
ag = 9,17 times 10^11 - 3,377 times 10^6
Como ac é muito menor que g, podemos simplificar:
ag approx 9,17 times 10^11 , m/s^2

Passo 9

Por fim, vamos calcular a diferença percentual entre g e ag usando a fórmula:
gamma = |ag - g|ag times 100%
Substituindo os valores:
gamma = |9,17 times 10^11 - 9,17 times 10^11|9,17 times 10^11 times 100%
Como a diferença é devido a ac, ajustamos:
gamma = 3,377 times 10^69,17 times 10^11 times 100%
gamma approx 3,27 times 10^-4 times 100%

Resposta

A diferença percentual entre g e ag no equador da estrela é de aproximadamente 0,0327%.

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