[13.3:63] Utilize as fórmulas de Frenet-Serret para demonstrar cada um dos seguintes itens. (Apóstrofo denota derivadas com relação a t. Comece como na demonstração do Teorema 10.)
tau=(r^prime times r^prime prime) bul<=t r^prime prime prime|r^prime times r^prime prime|^2

Passo 1

O enunciado pede para, usando as fórmulas de Frenet–Serret, demonstrar que, para uma curva parametrizada por comprimento de arco (ou seja, | r'|=1), a torsão satisfaz
tau ;=;l( r'times r''r)!cdot! r'''l| r'times r''r|^2
Aqui usamos que T= r', N e B são os vetores de Frenet, e
B'=-tau,N

Passo 2

Definimos o binormal unitário como
B ;=; r'times r''l| r'times r''r|

Passo 3

Derivando B e projetando em N, notamos que qualquer componente paralelo a B some ao fazermos produto escalar com N. Assim, chamando U= r'times r'',
B=U|U|, B' = U'|U|-U,ddtl(1|U|r) ;Longrightarrow; B'cdot N=U'cdot N|U|
Mas
U'=( r'times r'')'= r'times r''',
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B'cdot N =( r'times r''')cdot Nl| r'times r''r|

Passo 4

Pela fórmula de Frenet–Serret B'=-tau,N temos
B'cdot N=-tau Longrightarrow -tau=( r'times r''')cdot Nl| r'times r''r|,
ou ainda
tau=-( r'times r''')cdot Nl| r'times r''r|

Passo 5

Para eliminar N, usamos Ntimes r'=-(Ttimes N)= -B (pois T= r' e Ttimes N=B) e a identidade (atimes b)cdot c = acdot(btimes c). Assim,
( r'times r''')cdot N = r'''cdotl(Ntimes r'r) = r'''cdot(-B) =-, r'''cdot B
Substituindo em tau e usando B=( r'times r'')/| r'times r''|, vem
tau = r'''cdot Bl| r'times r''r| = r'''cdot( r'times r'')l| r'times r''r|^2 =( r'times r'')cdot r'''l| r'times r''r|^2

Resposta

tau ;=;l( r'times r''r)!cdot! r'''l| r'times r''r|^2

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