[13.3:63] Utilize as fórmulas de Frenet-Serret para demonstrar cada um dos seguintes itens. (Apóstrofo denota derivadas com relação a . Comece como na demonstração do Teorema 10.)
Passo 1
O enunciado pede para, usando as fórmulas de Frenet–Serret, demonstrar que, para uma curva parametrizada por comprimento de arco (ou seja, ), a torsão satisfaz
Aqui usamos que T= r', N e B são os vetores de Frenet, e
B'=-tau,N
Passo 2
Definimos o binormal unitário como
B ;=; r'times r''l| r'times r''r|
Passo 3
Derivando B e projetando em N, notamos que qualquer componente paralelo a B some ao fazermos produto escalar com N. Assim, chamando U= r'times r'',
B=U|U|, B' = U'|U|-U,ddtl(1|U|r) ;Longrightarrow; B'cdot N=U'cdot N|U|