Determine se F é um campo vetorial conservativo. Se for, encontre uma função potencial para ele
F(t)=(cos y+y cos x) i-(sin x-x sin y) j

Passo 1

O enunciado apresenta o campo vetorial
F(x,y) = l(cos y + ycos xr),i ;+;l[-l(sin x - xsin yr)r],j
e pede para verificarmos se ele é conservativo (isto é, se existe uma função potencial phi(x,y) tal que nablaphi=F) e, em caso afirmativo, encontrá-la.

Passo 2

Para um campo bidimensional F=(P,Q) ser conservativo em um domínio simplesmente conectado, é necessário e suficiente que
partial Ppartial y ;=;partial Qpartial x
Aqui temos
P(x,y)=cos y + ycos x, Q(x,y)=-sin x + xsin y

Passo 3

Calcular partial Ppartial y:
partial Ppartial y = partialpartial yl(cos yr) + partialpartial yl(ycos xr) = -sin y + cos x

Passo 4

Calcular partial Qpartial x:
partial Qpartial x = partialpartial xl(-sin xr) + partialpartial xl(xsin yr) = -cos x + sin y

Passo 5

Comparando
partial Ppartial y = -sin y + cos x, partial Qpartial x = -cos x + sin y,
vemos que em geral
-,sin y + cos x neq -,cos x + sin y
Logo a condição partial P/partial y=partial Q/partial x falha, o campo não é conservativo.

Resposta

F não é um campo conservativo, portanto não existe função potencial phi tal que nablaphi=F.

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