Determine se F é um campo vetorial conservativo. Se for, encontre uma função potencial para ele
F(t)=x ln y i-y ln x j

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
F(x,y)=P(x,y),i+Q(x,y),j
com
P(x,y)=xln y, Q(x,y)=-yln x,
definido para x>0 e y>0. Queremos verificar se existe uma função potencial phi(x,y) tal que
nablaphi=(phix,phiy)=(P,Q)
Num domínio simplesmente conexo, isso equivale a testar se
partial Ppartial y=partial Qpartial x

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais cruzadas:
partial Ppartial y =partialpartial y(xln y) =xcdot1y =xy,
partial Qpartial x =partialpartial x(-yln x) =-ycdot1x =-yx
Como
xyneq -yx
para x,y>0, temos partial P/partial yneqpartial Q/partial x.

Resposta

F não é um campo vetorial conservativo, pois as derivadas parciais cruzadas não coincidem.

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