[13.3:64] Mostre que a hélice circular r(t)=lang<= a cos (t), a sen(t), b trang<=, sendo a e b constantes positivas, tem curvatura e torção constantes.
OBS: A torção pode ser definida pela fórmula tau(t)=(r^prime(t) times r^prime prime(t)) bul<=t r^prime prime prime(t)|r^prime(t) times r^prime prime(t)|^2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a hélice circular
r(t)=lang<= acos(t),,asin(t),,b,trang<=, com a,b>0, tem curvatura e torção constantes. O conteúdo é geometria diferencial de curvas no espaço. Vamos usar as fórmulas
kappa(t) = l|r'(t)timesr''(t)r|l|r'(t)r|^3, tau(t) = l(r'(t)timesr''(t)r)cdotr'''(t) l|r'(t)timesr''(t)r|^2

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas primeiras e segundas:
r'(t) =llang<= -asin(t),,acos(t),,brrang<=, r''(t) =llang<= -acos(t),,-asin(t),,0rrang<=
O módulo de r'(t) é
l|r'(t)r| =raiz(-asin t)^2+(acos t)^2+b^2 =raiza^2+b^2,
que é constante.

Passo 3

Agora calculamos o produto vetorial
r'(t)timesr''(t) = i & j & k -asin t & acos t & b -acos t & -asin t & 0 =llang<= a bsin t,,-a bcos t,,a^2rrang<=
O módulo desse vetor é
l|r'timesr''r| =raiz(a b)^2(sin^2t+cos^2t)+a^4 =raiza^2b^2+a^4 =araiza^2+b^2

Passo 4

Substituindo em kappa(t):
kappa(t) =|r'timesr''||r'|^3 =araiza^2+b^2(raiza^2+b^2)^3 =aa^2+b^2,
que é constante.

Passo 5

Para a torção, precisamos de r'''(t):
r'''(t) =llang<= asin(t),,-acos(t),,0rrang<=
O produto misto no numerador de tau é
(r'timesr'')cdotr''' =llang<= a bsin t,,-a bcos t,,a^2rrang<= cdotllang<= asin t,,-acos t,,0rrang<= =a^2b(sin^2t+cos^2t) =a^2b
O quadrado do módulo do vetorial é
|r'timesr''|^2 =(araiza^2+b^2)^2 =a^2(a^2+b^2)
Logo
tau(t) =a^2ba^2(a^2+b^2) =ba^2+b^2,
também constante.

Resposta

A hélice tem
kappa=aa^2+b^2 e tau=ba^2+b^2,
ambas constantes.

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