Avalie as seguintes integrais definidas
integral-1^2(8 z^3-4 z+2) d z.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida juntos! O enunciado pede para a gente calcular a integral de 8z^3 - 4z + 2 no intervalo de -1 a 2. Isso envolve os conceitos de cálculo integral, especificamente a antiderivada e o Teorema Fundamental do Cálculo. Vamos precisar achar a antiderivada da função e depois aplicar os valores dos limites para encontrar o resultado final.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a antiderivada da função 8z^3 - 4z + 2. A antiderivada é uma função cuja derivada é a função original. Para cada termo da função, aplicamos a regra de potência para integrais:
  • A integral de z^n é z^n+1n+1, onde n neq -1.
Aplicando isso a cada termo:
  1. integral 8z^3 , dz = 8 cdot z^44 = 2z^4
  2. integral -4z , dz = -4 cdot z^22 = -2z^2
  3. integral 2 , dz = 2z
Então, a antiderivada F(z) é:
F(z) = 2z^4 - 2z^2 + 2z

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que a integral definida de a a b de f(z) dz é igual a F(b) - F(a), onde F(z) é a antiderivada de f(z).
Vamos calcular F(2) e F(-1):
  1. F(2) = 2(2)^4 - 2(2)^2 + 2(2) = 2(16) - 2(4) + 4 = 32 - 8 + 4 = 28
  2. F(-1) = 2(-1)^4 - 2(-1)^2 + 2(-1) = 2(1) - 2(1) - 2 = 2 - 2 - 2 = -2

Passo 4

Agora, subtraímos F(-1) de F(2) para encontrar o valor da integral definida:
integral-1^2 (8z^3 - 4z + 2) dz = F(2) - F(-1) = 28 - (-2) = 30

Resposta

O valor da integral definida é 30.

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