13.64 • Um objeto executa um movimento harmônico simples com período de 0,300 \mathrm{~s} e amplitude igual a 6,00 \mathrm{~cm} . \mathrm{Em} t=0, \mathrm{o} objeto está instantaneamente em repouso em x=6,00 \mathrm{~cm}. Calcule o tempo que o objeto leva para ir de x=6,00 \mathrm{~cm} até x=-1,50 \mathrm{~cm}. 13.65 • Um objeto executa um MHS com período de 1.200 s e amplitude igual a 0,600 \mathrm{~m}. Em t=0, o objeto está em x=0 e move-se na direção negativa de x. Qual é a distância entre o objeto e a posição de equilíbrio quando t=0,480 \mathrm{~s} ?
Passo 1
Vou listar claramente o que cada enunciado nos dá e o que pede (sem resolver ainda).
Para o problema 13.64:
Dados:
Período: T=0,300\\ \mathrm{s}.
Amplitude: A=6,00\\ \mathrm{cm}.
Em t=0 o objeto está instantaneamente em repouso em x=6,00\\ \mathrm{cm}.
Posição alvo: x=-1,50\\ \mathrm{cm}.
Pergunta: calcular o tempo que o objeto leva para ir de x=6,00\\ \mathrm{cm} até x=-1,50\\ \mathrm{cm}.
Para o problema 13.65:
Dados:
Período: T=1,200\\ \mathrm{s}.
Amplitude: A=0,600\\ \mathrm{m}.
Em t=0 o objeto está em x=0 e move-se na direção negativa de x.
Tempo de observação: t=0,480\\ \mathrm{s}.
Pergunta: qual é a distância entre o objeto e a posição de equilíbrio quando t=0,480\\ \mathrm{s}? (isto é, pedir-se-á |x(0,480\\ \mathrm{s})|.)
Passo 2
Ferramentas e fórmulas do movimento harmônico simples (MHS) que vamos usar — explicadinhas devagar.
Modelo geral da posição no MHS (escolheremos a forma que facilite aplicar as condições iniciais):
x(t)=A\cos\bigl(\omega t+\varphi\bigr).
Explicando cada símbolo:
x(t) é a posição no instante t.
A é a amplitude (valor máximo absoluto de x).
\omega é a frequência angular (medida em rad/s).
\varphi é a fase inicial (ângulo que determina a posição no instante t=0).
t é o tempo (em segundos).
Relação entre frequência angular e período:
\omega=\frac{2\pi}{T}.
Isto vem do fato de que em um período T o argumento da função trigonométrica avança 2\pi radianos.
e então usar arccos/arcsin para achar \omega t+\varphi, lembrando da periodicidade das funções trigonométricas e escolhendo o menor t>0 que satisfaça as condições físicas (o primeiro instante em que passa pela posição desejada).
Passo 3
Resolução detalhada do problema 13.64 (vai com calma e explicações para poder reproduzir na prova).
Resolver para t. A equação \cos(\theta)=-\tfrac{1}{4} tem soluções \theta=\operatorname{arccos}(-\tfrac{1}{4}) e simetricamente outras pela periodicidade. O primeiro instante positivo em que isso ocorre (começando em \theta=\omega t com \theta=0 em t=0) é
Interpretação física e escolha da solução: começando em x=+A com velocidade negativa, o corpo vai para a esquerda e atravessa x=-1,50\\ \mathrm{cm} pela primeira vez nesse t encontrado. Esse é o menor t>0 que satisfaz a equação, logo é a resposta que queremos.
Passo 4
Resolução detalhada do problema 13.65 (novamente passo a passo, com atenção à fase).
As soluções para \cos(\varphi)=0 são \varphi=\pm\tfrac{\pi}{2}+k\pi. Agora usar a velocidade para fixar o sinal:
v(0)=-A\omega\sin(\varphi).
Queremos v(0)<0. Se \varphi=\tfrac{\pi}{2}, então \sin(\varphi)=1 e v(0)=-A\omega(1)<0 — isso satisfaz a condição. Se \varphi=-\tfrac{\pi}{2}, então \sin(\varphi)=-1 e v(0)=+A\omega>0 (movendo-se para +\!x), o que não serve. Logo escolhemos
\varphi=\tfrac{\pi}{2}.
Escrever a posição no tempo usando a fase determinada:
Resumo final (rápido e objetivo) — verifique que entendeu o raciocínio para aplicar em prova:
Para o problema 13.64 escolhemos x(t)=A\cos(\omega t) porque em t=0 o objeto estava em x=A e em repouso. Resolvemos \cos(\omega t)=-\tfrac{1}{4} e pegamos o primeiro instante positivo.
Para o problema 13.65 usamos as condições x(0)=0 e v(0)<0 para determinar \varphi=\tfrac{\pi}{2}, obtendo x(t)=-A\sin(\omega t). Observamos que \omega t=0{,}8\pi é um ângulo conhecido (igual a \tfrac{4\pi}{5}), o que simplificou a conta do seno.