13.64 • Um objeto executa um movimento harmônico simples com período de 0,300 \mathrm{~s} e amplitude igual a 6,00 \mathrm{~cm} . \mathrm{Em} t=0, \mathrm{o} objeto está instantaneamente em repouso em x=6,00 \mathrm{~cm}. Calcule o tempo que o objeto leva para ir de x=6,00 \mathrm{~cm} até x=-1,50 \mathrm{~cm}. 13.65 • Um objeto executa um MHS com período de 1.200 s e amplitude igual a 0,600 \mathrm{~m}. Em t=0, o objeto está em x=0 e move-se na direção negativa de x. Qual é a distância entre o objeto e a posição de equilíbrio quando t=0,480 \mathrm{~s} ?

Passo 1

Vou listar claramente o que cada enunciado nos dá e o que pede (sem resolver ainda).
Para o problema 13.64:
  • Dados:
    • Período: T=0,300\\ \mathrm{s}.
    • Amplitude: A=6,00\\ \mathrm{cm}.
    • Em t=0 o objeto está instantaneamente em repouso em x=6,00\\ \mathrm{cm}.
    • Posição alvo: x=-1,50\\ \mathrm{cm}.
  • Pergunta: calcular o tempo que o objeto leva para ir de x=6,00\\ \mathrm{cm} até x=-1,50\\ \mathrm{cm}.
Para o problema 13.65:
  • Dados:
    • Período: T=1,200\\ \mathrm{s}.
    • Amplitude: A=0,600\\ \mathrm{m}.
    • Em t=0 o objeto está em x=0 e move-se na direção negativa de x.
    • Tempo de observação: t=0,480\\ \mathrm{s}.
  • Pergunta: qual é a distância entre o objeto e a posição de equilíbrio quando t=0,480\\ \mathrm{s}? (isto é, pedir-se-á |x(0,480\\ \mathrm{s})|.)

Passo 2

Ferramentas e fórmulas do movimento harmônico simples (MHS) que vamos usar — explicadinhas devagar.
  • Modelo geral da posição no MHS (escolheremos a forma que facilite aplicar as condições iniciais):
x(t)=A\cos\bigl(\omega t+\varphi\bigr).
Explicando cada símbolo:
  • x(t) é a posição no instante t.
  • A é a amplitude (valor máximo absoluto de x).
  • \omega é a frequência angular (medida em rad/s).
  • \varphi é a fase inicial (ângulo que determina a posição no instante t=0).
  • t é o tempo (em segundos).
  • Relação entre frequência angular e período:
\omega=\frac{2\pi}{T}.
Isto vem do fato de que em um período T o argumento da função trigonométrica avança 2\pi radianos.
  • Velocidade (derivada da posição):
v(t)=\frac{dx}{dt}=-A\omega\sin\bigl(\omega t+\varphi\bigr).
Isso é útil porque condições sobre estar em repouso ou movimento em certo sentido em t=0 nos determinam \varphi.
  • Para resolver posições específicas, vamos isolar o argumento trigonométrico:
\cos\bigl(\omega t+\varphi\bigr)=\frac{x(t)}{A}, \qquad \sin\bigl(\omega t+\varphi\bigr)=\frac{x_{\text{via sin}}(t)}{A},
e então usar arccos/arcsin para achar \omega t+\varphi, lembrando da periodicidade das funções trigonométricas e escolhendo o menor t>0 que satisfaça as condições físicas (o primeiro instante em que passa pela posição desejada).

Passo 3

Resolução detalhada do problema 13.64 (vai com calma e explicações para poder reproduzir na prova).
  1. Determinar \omega.
\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{0,300\\ \mathrm{s}}.
  1. Identificar a fase inicial \varphi a partir da condição em t=0:
  • Em t=0 temos x(0)=6,00\\ \mathrm{cm}=A e o objeto está instantaneamente em repouso ( v(0)=0).
  • Se x(0)=A, então da forma x(t)=A\cos(\omega t+\varphi) temos
x(0)=A\cos(\varphi)=A \quad\Rightarrow\quad \cos(\varphi)=1.
Isso ocorre para \varphi=0 (ou 2\pi k, escolheremos \varphi=0 como a escolha mais simples).
  • Verificação rápida com velocidade: v(0)=-A\omega\sin(\varphi)=-A\omega\sin(0)=0, consistente com “instantaneamente em repouso”.
Portanto a posição é
x(t)=A\cos(\omega t),
com A=6,00\\ \mathrm{cm} e \omega dado acima.
  1. Escrever a equação que determina o instante em que x(t)=-1,50\\ \mathrm{cm}.
\cos(\omega t)=\frac{x(t)}{A}=\frac{-1,50\\ \mathrm{cm}}{6,00\\ \mathrm{cm}}=-\tfrac{1}{4}.
  1. Resolver para t. A equação \cos(\theta)=-\tfrac{1}{4} tem soluções \theta=\operatorname{arccos}(-\tfrac{1}{4}) e simetricamente outras pela periodicidade. O primeiro instante positivo em que isso ocorre (começando em \theta=\omega t com \theta=0 em t=0) é
\omega t=\operatorname{arccos}\!\bigl(-\tfrac{1}{4}\bigr).
Logo
t=\frac{1}{\omega}\operatorname{arccos}\!\bigl(-\tfrac{1}{4}\bigr).
  1. Agora calcular numericamente. Primeiro \omega:
\omega=\frac{2\pi}{0,300}=\frac{2\pi}{0,3}= \frac{20\pi}{3}\\ \text{rad/s}\approx 20{,}943951\\ \mathrm{rad/s}.
Em seguida \operatorname{arccos}(-\tfrac{1}{4}). Numericamente
\operatorname{arccos}\!\bigl(-\tfrac{1}{4}\bigr)\approx 1{,}823476\\ \text{rad}.
Portanto
t=\frac{1{,}823476}{20{,}943951}\\ \mathrm{s}\approx 0{,}08706\\ \mathrm{s}.
  1. Interpretação física e escolha da solução: começando em x=+A com velocidade negativa, o corpo vai para a esquerda e atravessa x=-1,50\\ \mathrm{cm} pela primeira vez nesse t encontrado. Esse é o menor t>0 que satisfaz a equação, logo é a resposta que queremos.

Passo 4

Resolução detalhada do problema 13.65 (novamente passo a passo, com atenção à fase).
  1. Determinar \omega.
\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{1,200\\ \mathrm{s}}=\frac{2\pi}{1{,}2}=\frac{5\pi}{3}\\ \text{rad/s}\approx 5{,}235988\\ \mathrm{rad/s}.
  1. Usar as condições iniciais para achar a fase \varphi.
  • Em t=0 temos x(0)=0 e o objeto move-se na direção negativa de x, isto é, v(0)<0.
  • Usando x(t)=A\cos(\omega t+\varphi), em t=0:
x(0)=A\cos(\varphi)=0 \quad\Rightarrow\quad \cos(\varphi)=0.
As soluções para \cos(\varphi)=0 são \varphi=\pm\tfrac{\pi}{2}+k\pi. Agora usar a velocidade para fixar o sinal:
v(0)=-A\omega\sin(\varphi).
Queremos v(0)<0. Se \varphi=\tfrac{\pi}{2}, então \sin(\varphi)=1 e v(0)=-A\omega(1)<0 — isso satisfaz a condição. Se \varphi=-\tfrac{\pi}{2}, então \sin(\varphi)=-1 e v(0)=+A\omega>0 (movendo-se para +\!x), o que não serve. Logo escolhemos
\varphi=\tfrac{\pi}{2}.
  1. Escrever a posição no tempo usando a fase determinada:
x(t)=A\cos\bigl(\omega t+\tfrac{\pi}{2}\bigr)= -A\sin(\omega t).
(Usei a identidade \cos(\theta+\tfrac{\pi}{2})=-\sin\theta.)
  1. Calcular x(0{,}480\\ \mathrm{s}). Primeiro calcular \omega t:
\omega t=\frac{2\pi}{1{,}2}\cdot 0{,}480 = \frac{5\pi}{3}\cdot 0{,}480.
Fazendo conta: \tfrac{5}{3}\cdot 0{,}480=0{,}800, logo
\omega t = 0{,}800\pi = \tfrac{4\pi}{5}.
  1. Avaliar \sin(\omega t). Temos \sin\bigl(\tfrac{4\pi}{5}\bigr)=\sin\bigl(\pi-\tfrac{\pi}{5}\bigr)=\sin\bigl(\tfrac{\pi}{5}\bigr). Numericamente
\sin\bigl(\tfrac{4\pi}{5}\bigr)=\sin\bigl(\tfrac{\pi}{5}\bigr)\approx 0{,}587785.
  1. Então
x(0{,}480\\ \mathrm{s}) = -A\sin(\omega t)= -0{,}600\\ \mathrm{m}\times 0{,}587785\approx -0{,}35267\\ \mathrm{m}.
A distância até a posição de equilíbrio é o valor absoluto:
\bigl|x(0{,}480\\ \mathrm{s})\bigr|\approx 0{,}353\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Resumo final (rápido e objetivo) — verifique que entendeu o raciocínio para aplicar em prova:
  • Para o problema 13.64 escolhemos x(t)=A\cos(\omega t) porque em t=0 o objeto estava em x=A e em repouso. Resolvemos \cos(\omega t)=-\tfrac{1}{4} e pegamos o primeiro instante positivo.
  • Para o problema 13.65 usamos as condições x(0)=0 e v(0)<0 para determinar \varphi=\tfrac{\pi}{2}, obtendo x(t)=-A\sin(\omega t). Observamos que \omega t=0{,}8\pi é um ângulo conhecido (igual a \tfrac{4\pi}{5}), o que simplificou a conta do seno.

Resposta

13.64: t=0,0871\\ \mathrm{s}
13.65: |x(0,480\\ \mathrm{s})|=0,353\\ \mathrm{m}

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