[2,5] Um fio cilíndrico de módulo de elasticidade
, raio
e comprimento
é pendurado verticalmente. Um objeto de massa
está suspenso na extremidade do fio. Desprezando a massa do fio, determine (a) a tensão de elasticidade que age sobre o fio e (b) o alongamento
do fio.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas:
- Massa pendurada:
. - Aceleração da gravidade (usada aqui):
. - Módulo de elasticidade (Young):
. - Raio do fio:
. - Comprimento inicial do fio:
. - Desprezar a massa do fio.
O enunciado pede:
(a) a tensão de tração que age no fio;
(b) o alongamento do fio devido à carga.
(a) a tensão de tração que age no fio;
(b) o alongamento
Passo 2
Calcular a tensão (força) que o fio suporta.
Explicação física simples: o único peso pendurado exerce uma força para baixo igual ao seu peso ; como o fio está em equilíbrio estático, essa força é transmitida como tensão ao longo do fio. A fórmula é
Explicação física simples: o único peso pendurado exerce uma força para baixo igual ao seu peso
onde
é a tensão (força),
a massa e
a aceleração da gravidade.
Substituindo os valores:
Passo 3
Preparar o cálculo da área da secção transversal do fio (necessária para o alongamento).
Relembrando: para um fio cilíndrico de raio , a área da seção transversal é
Relembrando: para um fio cilíndrico de raio
onde
deve estar em metros.
Converter
e calcular:
Aproximando
,
Passo 4
Apresentar a relação entre tensão, deformação e módulo de elasticidade e derivar a fórmula do alongamento.
Conceitos essenciais (explicados devagar):
Conceitos essenciais (explicados devagar):
-
Tensão (stress)
é a força por unidade de área: ondeé a força axial aplicada (neste caso ) e é a área da seção. -
Deformação unidimensional (strain)
é a variação relativa do comprimento: ondeé o alongamento e o comprimento inicial. -
O módulo de Young
relaciona tensão e deformação (lei de Hooke linear para materiais elásticos):
Isolando
dessa relação obtemos a fórmula prática para o alongamento axial:
Aqui
é a força axial (no problema
),
comprimento inicial,
área da seção e
módulo de Young.
Passo 5
Aplicar a fórmula
com
e os valores numéricos calculados.
Primeiro o numerador:
O denominador usando os valores de
e
:
(Nota: foi usado
.)
Agora a divisão:
Calcule a razão:
logo
Converter para milímetros (mais intuitivo):
Interpretação curta e encorajamento: o alongamento é pequeno comparado ao comprimento (
sobre
), o que faz sentido para um fio de aço (ou material com
grande). Ótimo — já tá indo bem!
Resposta
(a)
(b)
(b)