[2,5] Um fio cilíndrico de módulo de elasticidade E=10,0 \times 10^{10} \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2}, raio r=2,00 \mathrm{~mm} e comprimento L=10,0 \mathrm{~m} é pendurado verticalmente. Um objeto de massa M=100 \mathrm{~kg} está suspenso na extremidade do fio. Desprezando a massa do fio, determine (a) a tensão de elasticidade que age sobre o fio e (b) o alongamento \Delta L do fio.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas:
  • Massa pendurada: M=100\\ \mathrm{kg}.
  • Aceleração da gravidade (usada aqui): g=9,80\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Módulo de elasticidade (Young): E=10,0\times10^{10}\\ \mathrm{N/m^{2}}.
  • Raio do fio: r=2,00\\ \mathrm{mm}=2,00\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento inicial do fio: L=10,0\\ \mathrm{m}.
  • Desprezar a massa do fio.
O enunciado pede:
(a) a tensão de tração que age no fio;
(b) o alongamento \Delta L do fio devido à carga.

Passo 2

Calcular a tensão (força) que o fio suporta.
Explicação física simples: o único peso pendurado exerce uma força para baixo igual ao seu peso Mg; como o fio está em equilíbrio estático, essa força é transmitida como tensão ao longo do fio. A fórmula é
T = M g,
onde T é a tensão (força), M a massa e g a aceleração da gravidade.
Substituindo os valores:
T = 100\\ \mathrm{kg}\times 9,80\\ \mathrm{m/s^{2}} = 9,80\times10^{2}\\ \mathrm{N}.

Passo 3

Preparar o cálculo da área da secção transversal do fio (necessária para o alongamento).
Relembrando: para um fio cilíndrico de raio r, a área da seção transversal é
A=\pi r^{2},
onde r deve estar em metros.
Converter r e calcular:
r=2,00\times10^{-3}\\ \mathrm{m},
A=\pi\,(2,00\times10^{-3}\\ \mathrm{m})^{2}=\pi\cdot 4,00\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}}=4,00\pi\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}}.
Aproximando \pi\approx3,1416,
A\approx 1,2566\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 4

Apresentar a relação entre tensão, deformação e módulo de elasticidade e derivar a fórmula do alongamento.
Conceitos essenciais (explicados devagar):
  • Tensão (stress) \sigma é a força por unidade de área:
    \sigma=\frac{F}{A},
    onde F é a força axial aplicada (neste caso F=T) e A é a área da seção.
  • Deformação unidimensional (strain) \varepsilon é a variação relativa do comprimento:
    \varepsilon=\frac{\Delta L}{L},
    onde \Delta L é o alongamento e L o comprimento inicial.
  • O módulo de Young E relaciona tensão e deformação (lei de Hooke linear para materiais elásticos):
    E=\frac{\sigma}{\varepsilon}=\frac{F/A}{\Delta L / L}.
Isolando \Delta L dessa relação obtemos a fórmula prática para o alongamento axial:
\Delta L=\frac{F L}{A E}.
Aqui F é a força axial (no problema F=T), L comprimento inicial, A área da seção e E módulo de Young.

Passo 5

Aplicar a fórmula \Delta L=\dfrac{F L}{A E} com F=T e os valores numéricos calculados.
Primeiro o numerador:
F L = T L = (9,80\times10^{2}\\ \mathrm{N})\times(10,0\\ \mathrm{m}) = 9,80\times10^{3}\\ \mathrm{N\cdot m}.
O denominador usando os valores de A e E:
A E \approx (1,2566\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}})\times(1,00\times10^{11}\\ \mathrm{N/m^{2}}) = 1,2566\times10^{6}\\ \mathrm{N}.
(Nota: foi usado E=10,0\times10^{10}\\ \mathrm{N/m^{2}}=1,00\times10^{11}\\ \mathrm{N/m^{2}}.)
Agora a divisão:
\Delta L = \frac{9,80\times10^{3}}{1,2566\times10^{6}}\\ \mathrm{m} = \left(\frac{9,80}{1,2566}\right)\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
Calcule a razão:
\frac{9,80}{1,2566}\approx 7,799,
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\Delta L \approx 7,799\times10^{-3}\\ \mathrm{m}\approx 7,80\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
Converter para milímetros (mais intuitivo):
\Delta L \approx 7,80\\ \mathrm{mm}.
Interpretação curta e encorajamento: o alongamento é pequeno comparado ao comprimento ( 7,80\\ \mathrm{mm} sobre 10{,}0\\ \mathrm{m}), o que faz sentido para um fio de aço (ou material com E grande). Ótimo — já tá indo bem!

Resposta

(a) T = 9,80\times10^{2}\\ \mathrm{N}
(b) \Delta L \approx 7,80\times10^{-3}\\ \mathrm{m} = 7,80\\ \mathrm{mm}

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