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Ultrassom. Ondas de som de alta frequência (ultrassom) são usadas para sondar o interior do corpo, assim como os raios X. Para detectar pequenos objetos como tumores, uma frequência em torno de 5,0 \mathrm{MHz} é utilizada. Quais são o período e a frequência angular das vibrações de moléculas causadas por esse pulso de som?

Passo 1

O enunciado dá a frequência do ultrassom e pergunta duas coisas. Dados e pedidos (peguei o valor do enunciado):
  • Frequência do pulso de som: f = 5,0\\ \mathrm{MHz}. Vou também escrever em hertz: f = 5,0\times10^{6}\\ \mathrm{Hz}.
  • Pedidos:
    1. Determinar o período das vibrações das moléculas causadas por esse pulso.
    2. Determinar a frequência angular ( \omega) dessas vibrações.

Passo 2

Relembrando a relação entre período e frequência (fórmula e explicação didática).
  • Definição: o período T é o tempo que leva uma oscilação completa. A frequência f é o número de oscilações por segundo.
  • Fórmula fundamental que liga as duas grandezas:
T=\frac{1}{f}.
Aqui T está em segundos quando f está em hertz. Essa fórmula vem do sentido direto: se ocorrem f ciclos por segundo, cada ciclo dura 1/f segundos.

Passo 3

Calcular o período usando a fórmula e mostrando contas passo a passo.
  • Substituindo f = 5,0\times10^{6}\\ \mathrm{Hz}:
T=\frac{1}{5,0\times10^{6}}\\ \mathrm{s}.
  • Fazer a divisão em notação científica: dividir 1 por 5,0\times10^{6} é o mesmo que
T=\frac{1}{5,0}\times10^{-6}\\ \mathrm{s}.
  • Como \dfrac{1}{5,0}=0,20, obtemos
T=0,20\times10^{-6}\\ \mathrm{s}=2,0\times10^{-7}\\ \mathrm{s}.
  • Converteções úteis para intuir melhor o resultado:
2,0\times10^{-7}\\ \mathrm{s}=200\\ \mathrm{ns}=0,20\\ \mu\mathrm{s}.
Explicando: 1\\ \mathrm{ns}=10^{-9}\\ \mathrm{s} e 1\\ \mu\mathrm{s}=10^{-6}\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Agora sobre frequência angular: definição e fórmula.
  • A frequência angular \omega mede a rapidez com que a fase da oscilação varia, em radianos por segundo. A relação com a frequência f é
\omega=2\pi f.
  • Alternativamente, como T=1/f, também vale \omega=\dfrac{2\pi}{T}. Aqui \pi é a constante 3,14159\ldots.

Passo 5

Calcular \omega usando f.
  • Substituindo f = 5,0\times10^{6}\\ \mathrm{Hz}:
\omega = 2\pi\cdot\bigl(5,0\times10^{6}\bigr)\\ \mathrm{rad/s}.
  • Fazer a simplificação em notação conveniente:
\omega = 10\pi\times10^{6}\\ \mathrm{rad/s} = \pi\times10^{7}\\ \mathrm{rad/s}.
  • Valor numérico aproximado (usar \pi\approx3,14159):
\omega \approx 3,14159\times10^{7}\\ \mathrm{rad/s}\approx 3,14\times10^{7}\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 6

Interpretação breve e motivadora (para você ir bem na prova).
  • O período T é extremamente pequeno: 2,0\times10^{-7}\\ \mathrm{s} significa que as moléculas vibram muito rápido (200 nanosegundos por ciclo).
  • A frequência angular \omega dá a velocidade de variação de fase em rad/s; \omega\approx3,14\times10^{7}\\ \mathrm{rad/s} é só outra forma, conveniente em muitas equações de oscilação (por exemplo em funções do tipo \cos(\omega t) ou \sin(\omega t)).

Resposta

T = 2,0\times10^{-7}\\ \mathrm{s} = 200\\ \mathrm{ns} = 0,20\\ \mu\mathrm{s}
\omega = \pi\times10^{7}\\ \mathrm{rad/s}\approx 3,14\times10^{7}\\ \mathrm{rad/s}

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