[2,5] A que altitude h acima da superfície da Terra a aceleração gravitacional é metade da aceleração na superfície da Terra?

Passo 1

O que o problema pede
  • Pedem a altitude h acima da superfície da Terra na qual a aceleração gravitacional vale metade da aceleração na superfície.
Informações relevantes (dados que vamos usar)
  • Denotar por R o raio da Terra (distância do centro da Terra até a superfície). Vou usar o valor médio padrão
R = 6{,}37\times 10^{6}\\ \mathrm{m}.
  • Denotar por g_0 a aceleração gravitacional na superfície (não é necessário conhecer g_0 numericamente para resolver algebraicamente).
Nenhuma outra informação foi fornecida no enunciado, então usaremos a lei da gravitação universal de Newton para relacionar aceleração gravitacional com a distância ao centro da Terra.

Passo 2

Apresentar a fórmula física e explicar as variáveis (aula rápida)
  • A expressão para a aceleração gravitacional a uma distância r do centro da Terra é a lei de Newton:
g(r)=\frac{G M}{r^{2}}.
Aqui:
  • G é a constante gravitacional (não precisamos do seu valor numérico aqui),
  • M é a massa da Terra (também não precisamos do valor numérico, pois vai cancelar),
  • r é a distância do centro da Terra até o ponto onde se mede a aceleração.
  • Na superfície da Terra temos r=R e g_0=g(R)=\dfrac{G M}{R^{2}}.
  • No ponto a altitude h acima da superfície, a distância ao centro é r=R+h e a aceleração é g(R+h)=\dfrac{G M}{(R+h)^{2}}.
Estratégia: escrever a condição “metade da aceleração na superfície” usando essas fórmulas e resolver para h.

Passo 3

Montar a equação e resolver algebricamente (passo a passo)
  • A condição pedida é
g(R+h)=\tfrac{1}{2}\,g_{0}.
  • Substituindo as fórmulas para g(R+h) e g_{0}:
\frac{G M}{(R+h)^{2}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{G M}{R^{2}}.
  • Como G M aparece dos dois lados, podemos cancelar G M (isso é seguro porque G M\neq 0):
\frac{1}{(R+h)^{2}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{R^{2}}.
  • Inverter ambos os lados:
(R+h)^{2}=2\,R^{2}.
  • Tirando raiz quadrada (escolhendo a raiz positiva, pois R+h>0):
R+h=\sqrt{2}\,R.
  • Isolando h:
h=(\sqrt{2}-1)\,R.
Comentário didático rápido: isso significa que para reduzir a gravidade em um fator a (isto é g=\tfrac{1}{a}g_0), a fórmula geral é h=(\sqrt{a}-1)R. No nosso caso a=2.

Passo 4

Avaliar numericamente (mostrar conta de forma que dê para fazer sem calculadora aproximando o \sqrt{2})
  • Usar \sqrt{2}\approx 1{,}41421356. Assim
\sqrt{2}-1 \approx 0{,}41421356.
  • Multiplicando por R=6{,}37\times10^{6}\\ \mathrm{m}:
h=(\sqrt{2}-1)R \approx 0{,}41421356\times 6{,}37\times10^{6}\\ \mathrm{m}.
  • Fazer a multiplicação em duas partes para entender: 6{,}37\times0{,}4=2{,}548 e 6{,}37\times0{,}01421356\approx0{,}0905; somando dá 2{,}6385 (ou calcular diretamente 6{,}37\times0{,}41421356\approx2{,}638528). Portanto
h\approx 2{,}6385\times10^{6}\\ \mathrm{m}.
  • Em unidades mais práticas:
h\approx 2{,}64\times10^{6}\\ \mathrm{m}\approx 2{,}64\times10^{3}\\ \mathrm{km}\approx 2{,}64\cdot 10^{3}\\ \mathrm{km},
ou seja, cerca de 2{,}64\times10^{3}\\ \mathrm{km} acima da superfície.
Dica para prova: se der R em km (por ex. R\approx6370\\ \mathrm{km}), basta multiplicar (\sqrt{2}-1)\approx0{,}4142 por 6370\\ \mathrm{km} para obter diretamente o resultado em km.

Passo 5

Interpretação física e incentivo rápido
  • Resultado físico: a altitude onde a gravidade é metade da da superfície é da ordem de milhares de quilômetros — aproximadamente 0{,}41 do raio da Terra acima da superfície (porque h/R=\sqrt{2}-1\approx0{,}4142). Não é uma altitude baixa: fica bem além da órbita baixa da Terra.
  • Força extra para o exame: memorize o passo algébrico principal (cancelar GM e resolver (R+h)^2 = a R^2) e a fórmula geral h=(\sqrt{a}-1)R para reduzir a gravidade por um fator a. Você está indo bem — respira fundo e segue!

Resposta

h=(\sqrt{2}-1)\,R\approx 2{,}6385\times10^{6}\\ \mathrm{m}\approx 2{,}64\times10^{3}\\ \mathrm{km}

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