A que altitude
acima da superfície da Terra a aceleração gravitacional é metade da aceleração na superfície da Terra?
Passo 1
O que o problema pede
- Pedem a altitude
acima da superfície da Terra na qual a aceleração gravitacional vale metade da aceleração na superfície.
Informações relevantes (dados que vamos usar)
- Denotar por
o raio da Terra (distância do centro da Terra até a superfície). Vou usar o valor médio padrão
- Denotar por
a aceleração gravitacional na superfície (não é necessário conhecer numericamente para resolver algebraicamente).
Nenhuma outra informação foi fornecida no enunciado, então usaremos a lei da gravitação universal de Newton para relacionar aceleração gravitacional com a distância ao centro da Terra.
Passo 2
Apresentar a fórmula física e explicar as variáveis (aula rápida)
- A expressão para a aceleração gravitacional a uma distância
do centro da Terra é a lei de Newton:
Aqui:
-
é a constante gravitacional (não precisamos do seu valor numérico aqui), -
é a massa da Terra (também não precisamos do valor numérico, pois vai cancelar), -
é a distância do centro da Terra até o ponto onde se mede a aceleração. - Na superfície da Terra temos
e . - No ponto a altitude
acima da superfície, a distância ao centro é e a aceleração é .
Estratégia: escrever a condição “metade da aceleração na superfície” usando essas fórmulas e resolver para
.
Passo 3
Montar a equação e resolver algebricamente (passo a passo)
- A condição pedida é
- Substituindo as fórmulas para
e :
- Como
aparece dos dois lados, podemos cancelar (isso é seguro porque ):
- Inverter ambos os lados:
- Tirando raiz quadrada (escolhendo a raiz positiva, pois
):
- Isolando
:
Comentário didático rápido: isso significa que para reduzir a gravidade em um fator
(isto é
), a fórmula geral é
. No nosso caso
.
Passo 4
Avaliar numericamente (mostrar conta de forma que dê para fazer sem calculadora aproximando o
)
- Usar
. Assim
- Multiplicando por
:
- Fazer a multiplicação em duas partes para entender:
e ; somando dá (ou calcular diretamente ). Portanto
- Em unidades mais práticas:
ou seja, cerca de
acima da superfície.
Dica para prova: se der
em km (por ex.
), basta multiplicar
por
para obter diretamente o resultado em km.
Passo 5
Interpretação física e incentivo rápido
- Resultado físico: a altitude onde a gravidade é metade da da superfície é da ordem de milhares de quilômetros — aproximadamente
do raio da Terra acima da superfície (porque ). Não é uma altitude baixa: fica bem além da órbita baixa da Terra. - Força extra para o exame: memorize o passo algébrico principal (cancelar
e resolver ) e a fórmula geral para reduzir a gravidade por um fator . Você está indo bem — respira fundo e segue!