13 - Um bloco começa a subir um plano inclınado sem atrito com uma velocıdade inicial
. O ângulo do plano inclinado é
. (a) Que distância vertical o bloco consegue subir? (b) Quanto tempo o bloco leva para atingir essa altura? (c) Qual é a velocidade do bloco ao chegar de volta ao ponto de partida?
Passo 1
O enunciado dá um bloco que sobe um plano inclinado sem atrito com velocidade inicial
e o plano tem ângulo
. As perguntas são:
- (a) Qual a distância vertical máxima que o bloco atinge? (ou seja, a altura
máxima). - (b) Quanto tempo o bloco leva para atingir essa altura máxima?
- (c) Qual é a velocidade do bloco ao voltar ao ponto de partida?
Informações numéricas extraídas do enunciado:
-
-
- aceleração da gravidade
(valor padrão usado aqui)
Passo 2
Vamos resolver (a) usando conservação de energia (método direto e muito prático). Ideia física: na subida, a energia cinética inicial do bloco se transforma em energia potencial gravitacional no ponto mais alto (não há perda por atrito).
A conservação de energia entre o ponto inicial e o ponto de altura máxima dá:
A conservação de energia entre o ponto inicial e o ponto de altura máxima dá:
Expliquei cada termo:
-
é a energia cinética inicial (massa do bloco e velocidade ). -
é a energia potencial gravitacional adquirida ao subir uma altura .
Cancelandoem ambos os lados e isolando :
Agora substituímos numericamente:
Arredondando com três algarismos significativos (compatível com os dados):
Passo 3
Breve comentário didático (importante para a prova): podemos também chegar ao mesmo resultado usando cinemática ao longo do plano inclinado, para reforçar a ideia. Se
é a distância ao longo do plano até parar, a aceleração ao longo do plano é
. Usando
com
no ponto mais alto, obtemos
A altura vertical é
. Substituindo
dá
que é a mesma expressão usada antes — ou seja, a altura máxima é independe do ângulo do plano quando não há atrito. Isso é uma boa propriedade para lembrar na prova.
Passo 4
Agora (b): tempo para atingir essa altura máxima. Aqui usamos cinemática ao longo do plano (movimento com aceleração constante). Ao longo do plano a aceleração é
o sinal negativo indica que a aceleração está oposta ao sentido inicial de velocidade (retardamento). A equação da velocidade é
No ponto mais alto a velocidade ao longo do plano é
. Então
Agora calculamos numericamente. Primeiro o seno:
Então
Arredondando para três algarismos significativos:
Passo 5
Agora (c): velocidade do bloco ao retornar ao ponto de partida. Em um plano sem atrito a energia mecânica é conservada durante todo o movimento. O bloco parte com velocidade
, perde toda a energia cinética no ponto mais alto e depois recupera essa energia ao descer. Assim, ao voltar exatamente ao ponto de partida (mesma altitude do início) a energia potencial é a mesma do início, então a energia cinética deverá ser novamente igual à inicial. Portanto o módulo da velocidade ao chegar de volta é igual a
:
Observação: a direção da velocidade é oposta à inicial (agora descendo), mas a pergunta pede a velocidade (valor escalar), que é
.
Passo 6
Recapitulando: fizemos (a) pela conservação de energia e confirmei por cinemática; (b) usei a equação da velocidade com aceleração constante ao longo do plano; (c) usei conservação de energia (ou simetria do movimento) para garantir que a velocidade volta ao valor inicial. Você conseguiu — tá indo bem! Mantém o ritmo que isso cai direto na prova.