13 - Um bloco começa a subir um plano inclınado sem atrito com uma velocıdade inicial \mathrm{v}_{\mathrm{o}}=3,20 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. O ângulo do plano inclinado é \theta=32,0^{\circ}. (a) Que distância vertical o bloco consegue subir? (b) Quanto tempo o bloco leva para atingir essa altura? (c) Qual é a velocidade do bloco ao chegar de volta ao ponto de partida?

Passo 1

O enunciado dá um bloco que sobe um plano inclinado sem atrito com velocidade inicial \,v_{0}=3,20\\ \mathrm{m/s}\, e o plano tem ângulo \theta=32,0^\circ. As perguntas são:
  • (a) Qual a distância vertical máxima que o bloco atinge? (ou seja, a altura h máxima).
  • (b) Quanto tempo o bloco leva para atingir essa altura máxima?
  • (c) Qual é a velocidade do bloco ao voltar ao ponto de partida?
Informações numéricas extraídas do enunciado:
  • \,v_{0}=3,20\\ \mathrm{m/s}\,
  • \theta=32,0^\circ
  • aceleração da gravidade \,g=9,80\\ \mathrm{m/s^{2}}\, (valor padrão usado aqui)

Passo 2

Vamos resolver (a) usando conservação de energia (método direto e muito prático). Ideia física: na subida, a energia cinética inicial do bloco se transforma em energia potencial gravitacional no ponto mais alto (não há perda por atrito).
A conservação de energia entre o ponto inicial e o ponto de altura máxima dá:
\frac{1}{2} m v_{0}^{2} = m g h.
Expliquei cada termo:
  • \frac{1}{2} m v_{0}^{2} é a energia cinética inicial (massa m do bloco e velocidade v_{0}).
  • m g h é a energia potencial gravitacional adquirida ao subir uma altura h.
    Cancelando m em ambos os lados e isolando h:
h = \frac{v_{0}^{2}}{2g}.
Agora substituímos numericamente:
v_{0}^{2} = (3,20)^{2} = 10,24\quad(\mathrm{m^{2}/s^{2}}),
2g = 2\cdot 9,80 = 19,6\quad(\mathrm{m/s^{2}}),
h = \frac{10,24}{19,6} = 0,5224489796\\ \mathrm{m}.
Arredondando com três algarismos significativos (compatível com os dados):
h \approx 0,522\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Breve comentário didático (importante para a prova): podemos também chegar ao mesmo resultado usando cinemática ao longo do plano inclinado, para reforçar a ideia. Se s é a distância ao longo do plano até parar, a aceleração ao longo do plano é a=-g\sin\theta. Usando
v^{2}=v_{0}^{2}+2 a s,
com v=0 no ponto mais alto, obtemos
0 = v_{0}^{2} + 2(-g\sin\theta)\,s \quad\Rightarrow\quad s = \frac{v_{0}^{2}}{2 g \sin\theta}.
A altura vertical é h = s\sin\theta. Substituindo s
h = \left(\frac{v_{0}^{2}}{2 g \sin\theta}\right)\sin\theta = \frac{v_{0}^{2}}{2g},
que é a mesma expressão usada antes — ou seja, a altura máxima é independe do ângulo do plano quando não há atrito. Isso é uma boa propriedade para lembrar na prova.

Passo 4

Agora (b): tempo para atingir essa altura máxima. Aqui usamos cinemática ao longo do plano (movimento com aceleração constante). Ao longo do plano a aceleração é
a = -g\sin\theta,
o sinal negativo indica que a aceleração está oposta ao sentido inicial de velocidade (retardamento). A equação da velocidade é
v = v_{0} + a t.
No ponto mais alto a velocidade ao longo do plano é v=0. Então
0 = v_{0} - g\sin\theta\; t \quad\Rightarrow\quad t = \frac{v_{0}}{g\sin\theta}.
Agora calculamos numericamente. Primeiro o seno:
\sin(32,0^\circ) \approx 0,529919.
Então
g\sin\theta = 9,80\times 0,529919 \approx 5,19303\\ \mathrm{m/s^{2}},
t = \frac{3,20}{5,19303} \approx 0,6163\\ \mathrm{s}.
Arredondando para três algarismos significativos:
t \approx 0,616\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Agora (c): velocidade do bloco ao retornar ao ponto de partida. Em um plano sem atrito a energia mecânica é conservada durante todo o movimento. O bloco parte com velocidade v_{0}, perde toda a energia cinética no ponto mais alto e depois recupera essa energia ao descer. Assim, ao voltar exatamente ao ponto de partida (mesma altitude do início) a energia potencial é a mesma do início, então a energia cinética deverá ser novamente igual à inicial. Portanto o módulo da velocidade ao chegar de volta é igual a v_{0}:
v_{\text{final}} = v_{0} = 3,20\\ \mathrm{m/s}.
Observação: a direção da velocidade é oposta à inicial (agora descendo), mas a pergunta pede a velocidade (valor escalar), que é 3,20\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Recapitulando: fizemos (a) pela conservação de energia e confirmei por cinemática; (b) usei a equação da velocidade com aceleração constante ao longo do plano; (c) usei conservação de energia (ou simetria do movimento) para garantir que a velocidade volta ao valor inicial. Você conseguiu — tá indo bem! Mantém o ritmo que isso cai direto na prova.

Resposta

h=0,522\\ \mathrm{m}
t=0,616\\ \mathrm{s}
v_{\text{final}}=3,20\\ \mathrm{m/s}

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