13.6 Calcule a transformada de Laplace da Distribuição Delta de Dirac em torno de t=a,
\mathscr{L}[\delta(t-a)]=\int_{0}^{\infty} \delta(t-a) e^{-s t} \mathrm{~d} t
onde a>0. Para fazer isto, você vai precisar mudar o limite inferior da integral para -\infty.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de \delta(t - a) para a>0. O conteúdo que vamos usar é a definição da transformada de Laplace e a propriedade de “amostragem” da delta de Dirac.

Passo 2

Escrevemos a integral original da transformada:
\mathscr{L}[\delta(t-a)] = \int_{0}^{\infty}\delta(t-a)\,e^{-s t}\,\mathrm{d}t.
Como a>0, temos \delta(t-a)=0 para t< a. Logo, estender o limite inferior de 0 para -\infty não altera o valor da integral:
\int_{0}^{\infty}\delta(t-a)\,e^{-s t}\,\mathrm{d}t = \int_{-\infty}^{\infty}\delta(t-a)\,e^{-s t}\,\mathrm{d}t.

Passo 3

Aplicamos a propriedade de amostragem da delta de Dirac,
\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t-a)\,f(t)\,\mathrm{d}t = f(a).
Aqui f(t)=e^{-s t}, então
\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t-a)\,e^{-s t}\,\mathrm{d}t = e^{-s a}.

Resposta

\mathscr{L}[\delta(t-a)] = e^{-s a}.

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