13.7 Calcule a transformada de Laplace de \mathrm{e}^{t} \delta(t-b), onde b>0 e \delta(\cdot) é a distribuição delta de Dirac.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de \mathrm e^{t}\,\delta(t-b), onde b>0 e \delta é a distribuição delta de Dirac. Vamos usar a definição de transformada de Laplace para distribuições envolvendo \delta.

Passo 2

A definição geral da transformada de Laplace de uma função f(t) multiplicada por \delta(t-b) é
\mathcal L\{f(t)\,\delta(t-b)\}(s) =\int_{0}^{\infty}f(t)\,\delta(t-b)\,e^{-s t}\,dt =f(b)\,e^{-s b},
pois a integral “seleciona” o valor de f(t)\,e^{-st} em t=b.

Passo 3

Aqui temos f(t)=\mathrm e^{t}. Então
\mathcal L\{\mathrm e^{t}\,\delta(t-b)\}(s) =\mathrm e^{b}\,e^{-s b} =\mathrm e^{b - s b} =\mathrm e^{b(1 - s)}.

Resposta

\mathcal L\{\mathrm e^{t}\,\delta(t-b)\}(s) =\mathrm e^{b(1 - s)}.

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