Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva com as equações paramétricas, dadas no ponto especificado.
20. x=\cos t, y=3 e^{2 t}, z=3 e^{-2 t} ; (1,3,3)

Passo 1

O enunciado nos dá a curva paramétrica no espaço
x=\cos t,\quad y=3e^{2t},\quad z=3e^{-2t}
e pede a reta tangente no ponto (1,3,3). Vamos usar o conceito de vetor tangente
\mathbf{r}'(t) e depois escrever a reta na forma
\mathbf{r}(s)=\mathbf{r}(t_{0})+s\,\mathbf{r}'(t_{0})\,,
onde t_{0} é o parâmetro que gera o ponto dado.

Passo 2

Determinar t_{0} tal que
\cos t_{0}=1,\quad 3e^{2t_{0}}=3,\quad 3e^{-2t_{0}}=3.
Da segunda equação segue e^{2t_{0}}=1, logo 2t_{0}=0 e t_{0}=0. Verificamos então \cos0=1 e 3e^{-2\cdot0}=3, consistente com o ponto.

Passo 3

Calcular o vetor tangente
\mathbf{r}'(t)=\bigl(x'(t),y'(t),z'(t)\bigr) =(-\sin t,\;6e^{2t},\;-6e^{-2t}).

Passo 4

Avaliar em t_{0}=0:
\mathbf{r}'(0)=\bigl(-\sin0,\;6e^{0},\;-6e^{0}\bigr)=(0,6,-6).
Esse é o vetor direção da reta tangente.

Passo 5

Escrever as equações paramétricas da reta usando parâmetro s:
\begin{cases} x(s)=1+0\cdot s=1,\\\ y(s)=3+6s,\\\ z(s)=3-6s. \end{cases}

Resposta

As equações paramétricas da reta tangente são
x=1,\quad y=3+6s,\quad z=3-6s.

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