Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva com as equações paramétricas, dadas no ponto especificado.
20. x=\cos t, y=3 e^{2 t}, z=3 e^{-2 t} ; (1,3,3)
20. x=\cos t, y=3 e^{2 t}, z=3 e^{-2 t} ; (1,3,3)
Passo 1
O enunciado nos dá a curva paramétrica no espaço
e pede a reta tangente no ponto
. Vamos usar o conceito de vetor tangente
e depois escrever a reta na forma
onde
é o parâmetro que gera o ponto dado.
Passo 2
Determinar
tal que
Da segunda equação segue
, logo
e
. Verificamos então
e
, consistente com o ponto.
Passo 3
Calcular o vetor tangente
Passo 4
Avaliar em
:
Esse é o vetor direção da reta tangente.
Passo 5
Escrever as equações paramétricas da reta usando parâmetro
:
Resposta
As equações paramétricas da reta tangente são