13^circ ) No cálculo do comprimento l de um pêndulo, usou-se a fórmula T=2 pi raizlg. O período da oscilação mediu 2 segundos com erro de 0,001 s, e a aceleração da gravidade mediu 10 m / s^-2, com erro de 0,01 cm / s^-2. Calcule o erro relativo em l.

Passo 1

O enunciado dá a fórmula do período de um pêndulo
T = 2pi raizlg
mede T=2,000 s com erro De<a T=0,001 s, e g=10 m/s ^2 com erro De<a g=0,01 cm/s ^2. Como 0,01 cm/s ^2 = 0,0001 m/s ^2, temos De<a g=0,0001 m/s ^2. Precisamos do erro relativo em l, usando propagação de erros (aproximação linear via diferenciais).

Passo 2

Isolamos l em função de T e g.
l ;=;g,T^24pi^2,

Passo 3

Para pequenas incertezas,
De<a l approx partial lpartial g,De<a g ;+;partial lpartial T,De<a T

Passo 4

Calculemos as derivadas parciais:
partial lpartial g =T^24pi^2, partial lpartial T =2,g,T4pi^2
Note que partial lpartial g,g=tfracg,T^24pi^2=l e partial lpartial T,T=2,tfracg,T^24pi^2=2l.

Passo 5

O erro relativo De<a ll fica
De<a ll approx De<a gg ;+;2,De<a TT

Passo 6

Agora substituímos os valores numéricos:
De<a gg =0,000110=1,0times10^-5, De<a TT =0,0012=5,0times10^-4
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De<a ll approx 1,0times10^-5 + 2,(5,0times10^-4) =1,0times10^-5 +1,0times10^-3 =1,01times10^-3

Resposta

O erro relativo em l é aproximadamente
boxed1,01times10^-3(ou 0,101%)

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