20- Dois blocos feitos do mesmo material são colocados no interior de um recipiente isolante. Ambos os blocos são macroscópicos, contendo mais de 1020 átomos. As perguntas abaixo dizem respeito ao que acontece com o sistema formado pelos dois blocos desde a situação inicial (imediatamente após serem postos em contato térmico) até a situação final (após um longo tempo). Suponham que os blocos sejam bem descritos pelo modelo do sólido de Einstein.
  1. A energia do sistema composto não varia, certamente aumenta ou nada é possível afirmar?
  2. A densidade de energia (energia média por partícula) do sistema composto:
  3. Se, na situação final, a energia do bloco 1 aumentar, é correto afirmar que:

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
  • Temos dois blocos feitos do mesmo material, colocados em contato térmico dentro de um recipiente isolante (ou seja, o sistema formado pelos dois blocos está isolado).
  • Ambos os blocos são macroscópicos (mais de 10^{20} átomos) e bem descritos pelo modelo do sólido de Einstein.
  • Pergunta 1: A energia do sistema composto (os dois blocos juntos) “não varia”, “certamente aumenta” ou “nada é possível afirmar”?
  • Pergunta 2: A densidade de energia (energia média por partícula) do sistema composto: aumenta, diminui ou não varia?
  • Pergunta 3: Se, na situação final, a energia do bloco 1 aumentar (ou seja, E_1 final > E_1 inicial), quais declarações são corretas sobre o que acontece (o enunciado pede que a gente avalie consequências dessa variação)?
Informações relevantes que usarei depois:
  • O recipiente é isolante => não há troca de energia com o exterior.
  • Os blocos ficam em contato térmico => podem trocar energia entre si.
  • Modelo de Einstein para sólidos será usado para justificar monotonicidade entre energia e temperatura/entropia.

Passo 2

Conservação de energia do sistema isolado (resposta à pergunta 1, com explicação didática).
  • Como o recipiente é isolante, o sistema formado pelos dois blocos não troca energia com o ambiente. Logo a energia total do sistema composto é conservada.
  • Escrevendo isso em fórmula: E_{\text{total}} = E_1 + E_2 = \text{constante}.
  • Isso significa que a energia total não varia. Não pode “certamente aumentar” nem “diminuir” porque não há fonte externa nem dissipação para fora do sistema.
Explicação didática (como usar isso na prova):
  • Sempre identifique se o sistema é isolado. Se for, energia total é conservada e você pode escrever a equação acima imediatamente.
  • Se os blocos trocam energia apenas entre si, qualquer ganho de E_1 implica perda de E_2 do mesmo montante, porque a soma deve permanecer constante.

Passo 3

Densidade de energia do sistema composto (resposta à pergunta 2), com definição e raciocínio.
  • Definição: chamo de densidade de energia (energia média por partícula) do composto a quantidade \bar{u}_{\text{comp}}=\dfrac{E_{\text{total}}}{N_{\text{total}}}, onde \,N_{\text{total}}=N_1+N_2 é o número total de partículas (átomos/osciladores) dos dois blocos.
  • O sistema é isolado então \,E_{\text{total}} é constante (Passo 2). O número total de partículas \,N_{\text{total}} também é constante (os blocos não perdem nem ganham partículas).
  • Portanto \bar{u}_{\text{comp}}=\frac{E_{\text{total}}}{N_{\text{total}}}=\text{constante}.
  • Conclusão: a densidade de energia do sistema composto não varia.
Dica prática para a prova:
  • Se te pedirem energia média por partícula do conjunto, verifique se tanto numerador (energia total) quanto denominador (número de partículas) são constantes. Se ambos são constantes, a densidade não varia.

Passo 4

Breve aula sobre o modelo do sólido de Einstein e relações energia ↔ entropia ↔ temperatura (para usar na pergunta 3). Vou explicar com calma.
  • No modelo de Einstein, cada átomo do sólido é tratado como um oscilador harmônico independente com níveis de energia quantizados. Para nossa discussão qualitativa, duas ideias importantes bastam:
    1. A energia média por oscilador \langle \varepsilon\rangle é uma função monótona crescente da temperatura T. Uma forma comum (ignorando energia de ponto zero) é
    \langle \varepsilon\rangle = \frac{\epsilon}{e^{\epsilon/(kT)}-1},onde \epsilon é a energia do quantum de oscilação e k é a constante de Boltzmann. O importante: \dfrac{d\langle \varepsilon\rangle}{dT}>0.
    2. A multiplicidade (número de microestados) \Omega(E,N) e a entropia S=k\ln\Omega crescem quando a energia total E de um bloco aumenta (para sistemas com várias partículas o número de microestados cresce com energia).
  • A temperatura microcanônica é dada por \frac{1}{T}=\frac{\partial S}{\partial E}.Como \Omega (e portanto S) cresce com E, a função S(E) é crescente e suave para um sólido macroscópico; assim existe uma relação monótona entre E e T (aumentar E geralmente aumenta T para sólidos comuns).
  • Consequência prática: num sólido de Einstein (ou qualquer sistema com capacidade térmica positiva), aumento de energia implica aumento de temperatura e de entropia do bloco considerado.
Exemplo simples (para fixar):
  • Imagine um bloco com N osciladores. Se eu injeto energia, há mais maneiras de repartir essa energia entre os osciladores → multiplicidade aumenta → S aumenta → pela definição acima, T sobe (desde que a curva S(E) tenha concavidade normal). Para sólidos macroscópicos isso vale bem.

Passo 5

Aplicando as ideias ao caso: se, na situação final, a energia do bloco 1 aumentar, o que se segue? (resposta à pergunta 3, com justificativa passo a passo)
  1. Conservação de energia entre os blocos:
  • Como vimos, E_{\text{total}}=E_1+E_2=\text{constante}.
  • Se E_1 aumenta, necessariamente E_2 diminui pela mesma quantidade. Em fórmulas, se \Delta E_1>0 então \Delta E_2=-\Delta E_1<0.
  • Conclusão imediata e incontestável: a energia do bloco 2 diminuiu.
  1. Entropia do bloco 1:
  • No modelo de Einstein (e em sistemas macroscópicos típicos), a multiplicidade \Omega_1(E_1) e a entropia S_1(E_1)=k\ln\Omega_1(E_1) aumentam quando E_1 aumenta.
  • Então, se E_1 aumentou, S_1 também aumentou (ou, pelo menos, não diminuiu). Portanto é correto afirmar que a entropia do bloco 1 aumentou.
  1. Temperatura do bloco 1:
  • Pelo item do Passo 4, a energia e a temperatura são funções monotônicas entre si para o sólido de Einstein (capacidade térmica positiva). Logo, aumento de E_1 implica aumento da temperatura do bloco 1.
  • Observação contextual: no estado final (equilíbrio térmico) os dois blocos têm a mesma temperatura T_{\text{final}}. Se E_1 aumentou durante a evolução, isso significa que a temperatura de 1 também subiu até igualar a de 2 no equilíbrio (ou seja, passou de um valor inicial menor para T_{\text{final}}).
  1. Entropia total do sistema:
  • A troca espontânea de energia entre blocos leva o sistema ao estado de máxima entropia compatível com a energia total fixa. Assim o processo até o equilíbrio aumenta (ou não diminui) a entropia total S_{\text{total}}=S_1+S_2. Se E_1 aumentou e o sistema atingiu equilíbrio, a entropia total no final é maior ou igual à inicial; na prática para um processo irreversível observado, o total aumentou até o máximo.
  1. Energia média por partícula dos blocos no equilíbrio:
  • Como os blocos são do mesmo material, em equilíbrio térmico (mesma T) a energia média por partícula em cada bloco será a mesma (a função \langle\varepsilon\rangle(T) depende apenas de T e do material). Então, se E_1 aumentou e o sistema chegou ao equilíbrio, isso reflete que as energias finais por partícula dos dois blocos coincidem.
Resumo do que é correto afirmar quando E_1 aumenta:
  • A energia do bloco 2 diminuiu (conservação).
  • A entropia do bloco 1 aumentou.
  • A temperatura do bloco 1 aumentou.
  • No equilíbrio, as temperaturas dos dois blocos são iguais e a energia média por partícula de cada bloco é a mesma.
  • A energia total do sistema composto permaneceu constante e a densidade de energia do composto permaneceu inalterada.

Resposta

  1. A energia do sistema composto não varia.
  2. A densidade de energia do sistema composto não varia.
  3. Correto afirmar que a energia do bloco 2 diminuiu; que a entropia do bloco 1 aumentou; que a temperatura do bloco 1 aumentou; e que, no equilíbrio final, as temperaturas dos dois blocos são iguais.

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