3.13 Considere
definida implicitamente por
calcule as derivadas parciais
e
.
Passo 1
O enunciado define a função z(x,y) de forma implícita pela relação
Vamos usar o método de diferenciação implícita para encontrar as derivadas parciais
e
. Começaremos lembrando que ao derivar em relação a uma variável mantemos a outra como constante.
Passo 2
Para calcular
, derivamos ambos os lados de
em relação a
, tratando
como constante. No lado esquerdo temos:
No direito, aplicamos a regra da cadeia em
:
Passo 3
Agora agrupamos os termos que envolvem
:
Ou seja,
Fatorando
:
Logo,
Passo 4
Para calcular
, derivamos
em relação a
, tratando
como constante. No lado esquerdo:
No lado direito, de novo pela regra da cadeia:
Agrupando os
:
Passando termos,
Fatorando
:
Logo,