3.13 Considere z definida implicitamente por y z=e^x+z e calcule as derivadas parciais zx e zy.

Passo 1

O enunciado define a função z(x,y) de forma implícita pela relação
yz = e^x+z
Vamos usar o método de diferenciação implícita para encontrar as derivadas parciais zx e zy. Começaremos lembrando que ao derivar em relação a uma variável mantemos a outra como constante.

Passo 2

Para calcular zx, derivamos ambos os lados de yz = e^x+z em relação a x, tratando y como constante. No lado esquerdo temos:
partialpartial x(yz) = y,zx
No direito, aplicamos a regra da cadeia em e^x+z:
partialpartial xl(e^x+zr) = e^x+z,(1 + zx)

Passo 3

Agora agrupamos os termos que envolvem zx:
y,zx = e^x+z + e^x+z,zx
Ou seja,
y,zx - e^x+z,zx = e^x+z
Fatorando zx:
(y - e^x+z),zx = e^x+z
Logo,
zx = e^x+zy - e^x+z

Passo 4

Para calcular zy, derivamos yz = e^x+z em relação a y, tratando x como constante. No lado esquerdo:
partialpartial y(yz) = z + y,zy
No lado direito, de novo pela regra da cadeia:
partialpartial yl(e^x+zr) = e^x+z,zy
Agrupando os zy:
z + y,zy = e^x+z,zy
Passando termos,
y,zy - e^x+z,zy = -z
Fatorando zy:
(y - e^x+z),zy = -z
Logo,
zy = -zy - e^x+z

Resposta

zx = e^x+zy - e^x+z, zy = -zy - e^x+z

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