O fluxo de calor na coroa solar obedece a equação nabla cdot(k nabla T)=0, onde T denota a temperatura. Aqui k propto T^5 / 2 denota a condutividade térmica. Admitindo-se que T(r) propto r^n, mostre que a equação de fluxo de calor é satisfeita por .

Passo 1

A questão pede resolver a equação de condução de calor estacionária em simetria esférica,
conteúdo: ∇·(k∇T)=0 com k∝T^{5/2}, e mostrar que T®∝r^{2/7} (com isso satisfaz a equação).

Passo 2

Em coordenadas esféricas, assumindo apenas dependência radial, a divergência do fluxo é
nablacdot(knabla T)=1r^2ddrl(r^2,k,dTdrr)=0
Isso significa que o termo dentro da derivada é constante.

Passo 3

Integrando uma vez, obtemos
r^2,k,dTdr=C
onde C é constante de integração (fluxo radial constante).

Passo 4

Usando k=k_0 T^{5/2} e supondo T®=A r^n, temos
dTdr=n A r^n-1
e portanto
C=r^2,k0,(A r^n)^5/2,n A r^n-1=k0 n A^7/2r^2+tfrac5n2+n-1=k0 n A^7/2r^1+tfrac7n2
Para C independer de r, exige-se 1+7n/2=0.

Passo 5

Resolvendo 1+7n/2=0 vem n=-2/7. Escolhendo a constante A de modo que T(r_0)=T_0, resulta
T(r)=T0l(rr0r)^-2/7=T0l(rr0r)^2/7
conforme solicitado.

Resposta

T=T_{0}\left(\frac{r}{r_{0}}\right)^{2/7}

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