O fluxo de calor na coroa solar obedece a equação
, onde
denota a temperatura. Aqui
denota a condutividade térmica. Admitindo-se que
, mostre que a equação de fluxo de calor é satisfeita por
.
Passo 1
A questão pede resolver a equação de condução de calor estacionária em simetria esférica,
conteúdo: ∇·(k∇T)=0 com k∝T^{5/2}, e mostrar que T®∝r^{2/7} (com isso satisfaz a equação).
Passo 2
Em coordenadas esféricas, assumindo apenas dependência radial, a divergência do fluxo é
Isso significa que o termo dentro da derivada é constante.
Passo 3
Integrando uma vez, obtemos
onde C é constante de integração (fluxo radial constante).
Passo 4
Usando k=k_0 T^{5/2} e supondo T®=A r^n, temos
e portanto
Para C independer de r, exige-se 1+7n/2=0.
Passo 5
Resolvendo 1+7n/2=0 vem n=-2/7. Escolhendo a constante A de modo que T(r_0)=T_0, resulta
conforme solicitado.
Resposta
T=T_{0}\left(\frac{r}{r_{0}}\right)^{2/7}