Determine o volume delimitado pelo plano x+y+z=2 e a região do plano x y tal que 0 <= x <= 1 e x^3 <= y <= x. Inverta os limites da integração da integral inicialmente obtiva e resolva-a.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o volume sob a superfície z = 2 - x - y acima da região R no plano xy definida por 0 <= x <= 1 e x^3 <= y <= x. O conteúdo usado é integração dupla (Teorema de Fubini) e precisamos inverter a ordem de integração antes de calcular.

Passo 2

Escrevemos inicialmente o volume como integral iterada em dy,dx:
integralx=0^1integraly=x^3^x(2 - x - y),dy,dx

Passo 3

Para inverter, determinamos os limites em y: de y=0 até y=1. Dado x^3 <= y <= x, para cada y fixo temos y <= x e x <= y^1/3. Assim a integral vira
integraly=0^1integralx=y^y^1/3(2 - x - y),dx,dy

Passo 4

Calculamos primeiro a integral interna em x:
integralx=y^y^1/3(2 - x - y),dx = (2 - y)(y^1/3 - y) - y^2/3 - y^22,
pois a antiderivada de 2 - y é (2 - y)x e de x é x^2/2.

Passo 5

Expandindo o integrando e integrando em y de 0 a 1:
integral0^1l(2y^1/3 - tfrac12y^2/3 - y^4/3 - 2y + tfrac32y^2r),dy = 1970

Resposta

1970

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