Em coordenadas esféricas, um campo de força é dado por
F=r 2 P cos thetar^3+theta P sin thetar^3, r >= P / 2
Calcule nabla times F e determine se existe ou não um potencial escalar para F. O campo F é conservativo?

Passo 1

O problema pede para calcular o rotacional de um campo dado em coordenadas esféricas e verificar se existe potencial escalar (isto é, se o campo é conservativo). O conteúdo é Cálculo Vetorial, especificamente a fórmula de nablatimesvec F em coordenadas esféricas.

Passo 2

Em coordenadas esféricas (r,theta,varphi) um campo vec F=Fr,hat r+Ftheta,hattheta+Fvarphi,hatvarphi tem rotacional dado por
(nablatimesvec F)r=1rsinthetal[partialpartialtheta(Fvarphisintheta)-partial Fthetapartialvarphir],
(nablatimesvec F)theta=1rl[1sinthetapartial Frpartialvarphi-partialpartial r(rFvarphi)r],
(nablatimesvec F)varphi=1rl[partialpartial r(rFtheta)-partial Frpartialthetar]

Passo 3

Aqui temos Fr=2Pcosthetar^3, Ftheta=Psinthetar^3 e Fvarphi=0, sem dependência em varphi. Então as componentes ficam:
  • (nablatimesvec F)r=0, pois não há varphi-dependência nem Fvarphi.
  • (nablatimesvec F)theta=0, mesmo motivo.
  • ((\nabla\times\vec F)_\varphi=\frac{1}{r}\Bigl[\frac{\partial}{\partial r}\Bigl(r\cdot\frac{P\sin\theta}{r3}\Bigr)-\frac{\partial}{\partial\theta}\Bigl(\frac{2P\cos\theta}{r3}\Bigr)\Bigr].]

Passo 4

Calculemos a componente varphi:
rFtheta=rcdotPsinthetar^3=Psinthetar^2,
partialpartial rl(Psinthetar^2r)=-2Psinthetar^3,
partialpartialthetal(2Pcosthetar^3r)=-2Psinthetar^3
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(nablatimesvec F)varphi=1rl[-2Psinthetar^3-l(-2Psinthetar^3r)r]=0

Passo 5

Como todas as componentes do rotacional são zero, nablatimesvec F=0. O domínio r>= P/2 é simplesmente conexo (região exterior a uma esfera sólida), então existe potencial escalar phi tal que vec F=nablaphi. Integramos:
partialphipartial r=2Pcosthetar^3impliesphi=-Pcosthetar^2+h(theta),
$$
\frac{1}{r}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}=\frac{P\sin\theta}{r^3}\implies h’(\theta)=0. 1rpartialphipartialtheta=Psinthetar^3implies h'(theta)=0é
\phi=-\frac{P\cos\theta}{r^2}+C.
$$

Resposta

O rotacional é zero ( nablatimesvec F=0), existe potencial escalar phi=-Pcostheta/r^2+C e o campo é conservativo.

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