Em coordenadas esféricas, um campo de força é dado por
Calcule
e determine se existe ou não um potencial escalar para
. O campo
é conservativo?
Passo 1
O problema pede para calcular o rotacional de um campo dado em coordenadas esféricas e verificar se existe potencial escalar (isto é, se o campo é conservativo). O conteúdo é Cálculo Vetorial, especificamente a fórmula de
em coordenadas esféricas.
Passo 2
Em coordenadas esféricas
um campo
tem rotacional dado por
Passo 3
Aqui temos
,
e
, sem dependência em
. Então as componentes ficam:
-
, pois não há -dependência nem . -
, mesmo motivo. - ((\nabla\times\vec F)_\varphi=\frac{1}{r}\Bigl[\frac{\partial}{\partial r}\Bigl(r\cdot\frac{P\sin\theta}{r3}\Bigr)-\frac{\partial}{\partial\theta}\Bigl(\frac{2P\cos\theta}{r3}\Bigr)\Bigr].]
Passo 4
Calculemos a componente
:
Logo
Passo 5
Como todas as componentes do rotacional são zero,
. O domínio
é simplesmente conexo (região exterior a uma esfera sólida), então existe potencial escalar
tal que
. Integramos:
$$
\frac{1}{r}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}=\frac{P\sin\theta}{r^3}\implies h’(\theta)=0.
\phi=-\frac{P\cos\theta}{r^2}+C.
$$
Resposta
O rotacional é zero (
), existe potencial escalar
e o campo é conservativo.