Usando a integral dupla, determine a área delimitada por 0 <= x <= pi / 2 e 0 <= y <= sen (x). Inverta os limites da integração a integral inicialmente obtiva e resolva-a.

Passo 1

A área pedida é a região do plano limitada por 0 ≤ x ≤ π/2 e 0 ≤ y ≤ sen(x). O conteúdo principal é uso de integral dupla para cálculo de áreas e inversão da ordem de integração.

Passo 2

Montamos a integral dupla original. Como a área entre as curvas y=0 e y=sen(x) para x em [0,π/2] é dada por
A=integralx=0^pi/2integraly=0^sin(x)1,dy,dx

Passo 3

Integramos primeiro em y. Como integral0^sin(x)1,dy=sin(x), a área vira
A=integral0^pi/2sin(x),dx

Passo 4

Agora usamos a primitiva de sen(x). Sabemos que integralsin(x),dx=-cos(x). Assim
A=[-cos(x)]0^pi/2=-cos(pi/2)+cos(0)=0+1=1

Passo 5

Para inverter a ordem, descrevemos a região: y varia de 0 até 1 (valor máximo de sen(x)), e para cada y fixo, x satisfaz sen(x)≥y, ou seja x∈[arcsin(y),π/2]. Portanto
A=integraly=0^1integralx=arcsin(y)^pi/21,dx,dy

Passo 6

Integramos em x primeiro: integralarcsin(y)^pi/21,dx=pi/2-arcsin(y). Fica
A=integral0^1l(tfracpi2-arcsin(y)r)dy

Passo 7

Separamos a integral:
integral0^1tfracpi2dy=tfracpi2,
integral0^1arcsin(y)dy=[yarcsin(y)+raiz1-y^2]0^1=l(1cdottfracpi2+0r)-1=tfracpi2-1

Passo 8

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A=tfracpi2 - (tfracpi2-1)=1

Resposta

1

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