Usando a integral dupla, determine a área delimitada por
e
sen
. Inverta os limites da integração a integral inicialmente obtiva e resolva-a.
Passo 1
A área pedida é a região do plano limitada por 0 ≤ x ≤ π/2 e 0 ≤ y ≤ sen(x). O conteúdo principal é uso de integral dupla para cálculo de áreas e inversão da ordem de integração.
Passo 2
Montamos a integral dupla original. Como a área entre as curvas y=0 e y=sen(x) para x em [0,π/2] é dada por
Passo 3
Integramos primeiro em y. Como
, a área vira
Passo 4
Agora usamos a primitiva de sen(x). Sabemos que
. Assim
Passo 5
Para inverter a ordem, descrevemos a região: y varia de 0 até 1 (valor máximo de sen(x)), e para cada y fixo, x satisfaz sen(x)≥y, ou seja x∈[arcsin(y),π/2]. Portanto
Passo 6
Integramos em x primeiro:
. Fica
Passo 7
Separamos a integral:
Passo 8
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Resposta
1