13- Um dado escoamento tem as seguintes características:
- Escoamento bidimensional em
e
:
- O comprimento característico
, localizado na direção
é muito menor que o comprimento característico
localizado na direção
;
- Escoamento incompressível em regime transiente, com gradientes de pressio e influência de forças gravitacionais;
Mostre, executando análise de escala nos termos convectivo e difusivo, como ficarão as componentes da equação de Navier-Stokes simplificadas para este escoamento.
Passo 1
O enunciado descreve um escoamento incompressível bidimensional nas direções
e
, com comprimento característico longo em
(denotado por
) e curto em
(denotado por
), sendo
. Há variação temporal, gradiente de pressão e gravidade. Vamos aplicar análise de escala aos termos convectivo e difusivo da equação de Navier–Stokes para identificar quais termos são dominantes e simplificar cada componente.
Passo 2
Definimos as escalas características: velocidade típica na direção
como
, comprimento em
como
, comprimento em
como
, e tempo típico
Pela continuidade incompressível
temos a escala da velocidade em
como
onde
.
Passo 3
Escala dos termos convectivos na equação de momento para a componente
:
isto é, ambos são da ordem
. Para a componente
:
Logo, no momento
todos os termos convectivos são menores por fator
.
Passo 4
Escala dos termos difusivos (viscosidade cinemática
) para
:
O termo
domina sobre
por fator
. Para
ocorre similar hierarquia.
Passo 5
Introduzindo o número de Reynolds
, escrevemos os termos principais da equação de momento em
de forma adimensional (usando escalas acima):
Comparando inércia e viscosidade
Se
, inércia é pequena ante a difusão em
. Mesmo sem desprezar
, nunca desprezamos o termo difusivo em
pois ele é amplificado por
.
Passo 6
Em consequência, a componente
simplificada (dimensional) retém apenas a difusão em
, o gradiente de pressão em
e a gravidade
, e eventualmente o termo transiente se
não for tão pequeno:
Passo 7
Na componente
, todos os termos convectivos são de ordem
menores e a difusão em
é
menor que em
. Assim, para equilíbrio de maior ordem surge o balanço hidroestático transversal:
Resposta
Com a análise de escala, as equações simplificadas ficam: