Encontrar uma base e a dimensso do espaço-solução dos sistemas:
x+2 y-2 z-t & =0 2 x+4 y+z+t & =0 x+2 y+3 z+2 t & =0

Passo 1

O enunciado pede a base e a dimensão do espaço-solução do sistema homogêneo de quatro incógnitas
x+2y-2z-t=0, 2x+4y+z+t=0, x+2y+3z+2t=0
O conteúdo é resolução de sistema linear e determinação do espaço nulo de uma matriz por eliminação de Gauss.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada do sistema e aplicamos eliminação de Gauss:
[cccc|c 1 & 2 & -2 & -1 & 0 2 & 4 & 1 & 1 & 0 1 & 2 & 3 & 2 & 0 ]
Fazemos R2 R2-2R1 e R3 R3-R1, obtendo
[cccc|c 1 & 2 & -2 & -1 & 0 0 & 0 & 5 & 3 & 0 0 & 0 & 5 & 3 & 0 ]

Passo 3

Subtraindo a segunda linha da terceira, a terceira vira nula, e dividindo a segunda por 5 temos a forma escalonada
[cccc|c 1 & 2 & -2 & -1 & 0 0 & 0 & 1 & tfrac35 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 ]
Os pivôs estão nas colunas de x e de z. As variáveis livres são y e t.

Passo 4

Da segunda linha vem
z + tfrac35,t = 0 Longrightarrow z = -tfrac35,t,
e da primeira linha
x + 2y - 2z - t = 0 Longrightarrow x = -2y +2z + t = -2y -tfrac65t + t = -2y -tfrac15,t
Seja y=lambda, t=mu. Então
(x,y,z,t) =lambda(-2,1,0,0) +mul(-tfrac15,0,-tfrac35,1r)
Para evitar frações, podemos escalar o segundo vetor por 5, ficando
(x,y,z,t) =lambda(-2,1,0,0) +mu',(-1,0,-3,5),
onde mu'=5mu. Assim uma base do espaço-solução é
,(-2,1,0,0),;(-1,0,-3,5)

Resposta

Uma base do espaço-solução é
(-2,1,0,0),;(-1,0,-3,5),
e sua dimensão é 2.

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