1. Seja o subespaço de gerado por

Passo 1

O enunciado define o subespaço Wsubset M(3,2) gerado pelas matrizes
A=0 & 01 & 10 & 0, B=0 & 10 & -11 & 0, C=0 & 10 & 00 & 0,
e pergunta se a matriz
D=0 & 23 & 45 & 0
pertence a W. Como W=spanA,B,C, basta ver se existe combinação linear
alpha A+beta B+gamma C=D.

Passo 2

Suponha que existam escalares alpha,beta,gamma tais que
alpha A + beta B + gamma C = alpha0 & 01 & 10 & 0 + beta0 & 10 & -11 & 0 + gamma0 & 10 & 00 & 0 =0 & 23 & 45 & 0

Passo 3

Igualando as entradas correspondentes, obtemos o sistema
(1,2):&;0cdotalpha +1cdotbeta +1cdotgamma = 2, (2,1):&;1cdotalpha +0cdotbeta +0cdotgamma = 3, (2,2):&;1cdotalpha -1cdotbeta +0cdotgamma = 4, (3,1):&;0cdotalpha +1cdotbeta +0cdotgamma = 5
Ou seja,
beta + gamma = 2, alpha = 3, alpha - beta = 4, beta = 5

Passo 4

Das equações tiramos alpha=3 e beta=5. Substituindo em alpha-beta=4
3 - 5 = -2 neq 4,
logo há contradição. Não existem alpha,beta,gamma que satisfaçam todas as igualdades.

Resposta

Não. A matriz D não pertence a W.

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